Искусственные мышцы из нейлоновой лески

С обычной рыболовной леской из полимерного материала можно сделать занимательный опыт. Если вытянуть леску в длину и, зажав один конец, долго закручивать другой вокруг своей оси, то на леске образуются плотные кольца и она приобретает вид спиральной пружины. При нагревании эта пружина сокращается, а при охлаждении – удлиняется. Сборная команда новосибирских школьников исследовала свойства такой «искусственной мышцы» на Международном турнире юных физиков IYPT-2015. Интересно, что для количественного описания сокращения таких мышц можно использовать теорему Калугаряну – Уайта – Фуллера, ранее нашедшую применение в молекулярной биологии при описании сверхспирализованных ДНК

Искусственные мышечные волокна, способные многократно сокращаться под действием внешнего стимула и совершать механическую работу, в недалеком будущем могут найти применение в разнообразных приложениях, от экзоскелетов и промышленных роботов до микрофлюидных технологий. Разработки и исследования искусственных мышц ведутся по разным направлениям – металлы с памятью формы, электроактивные полимеры, жгуты из углеродных нанотрубок. Совсем недавно группа исследователей предложила использовать в качестве недорогих и весьма эффективных искусственных мышц спирали, свитые из обычной рыболовной лески (Hainеs еt al., 2014). Такая искусственная мышца заметно сокращается при нагревании и вновь удлиняется при охлаждении. Изготовить спиральную мышцу из нейлоновой лески и исследовать ее свойства было предложено участникам Международного турнира юных физиков IYPT-2015 в задаче «Искусственная мышца».

Мышцы требуют тренировки

В наших экспериментах мы использовали леску диаметром 0,7 мм. Чтобы свернуть ее в спираль, мы закрепили электродрель в вертикальном положении, зажали один конец лески в патроне, а к другому концу прикрепили груз весом 3 Н – при таком весе леска не порвется, а свернется в однородную спираль. В процессе закрутки груз должен подниматься вверх, не проворачиваясь вокруг вертикальной оси, для чего на него устанавливается фиксатор.

Когда продольные волокна на поверхности лески завиваются примерно на 45° по отношению к продольной оси, леска начинает скручиваться в плотную спираль. Исходный отрезок лески длиной 1 м при скручивании превращается в 17 см такой спирали. При этом нейлон претерпевает столь сильную пластическую деформацию, что после снятия вращающего усилия спираль почти не раскручивается обратно. В принципе это новое состояние волокон можно закрепить, медленно нагрев леску до температуры, близкой к температуре плавления, а затем охладив ее.

Во избежание раскручивания спирали при последующих испытаниях мы составляли искусственную мышцу из двух спиралей с правой и левой завивкой, скрепляя их параллельно. Снизу к вертикально подвешенной мышце крепился поднимаемый груз. Для сокращения мышцы на ее верх­ний конец по трубке подавалась горячая вода, которая свободно стекала по спиралям вниз. Температура мышцы измерялась закрепленным на ней термодатчиком, удлинение – ультразвуковым датчиком перемещения.

Работа, совершаемая двигателем по перемещению груза против постоянной действующей силы, равна произведению величины силы и перемещения. Например, при перемещении свободно подвешенного груза весом 10 Н вверх (т.е. в направлении, противоположном вектору силы тяжести) на 0,03 м подъемник совершает работу 10 Н × 0,03 м = 0,3 Дж.

Измерив в нескольких последовательных испытаниях, как длина мышцы с подвешенным к ней грузом 10 Н зависит от температуры, мы обнаружили эффект тренировки: после первых циклов нагрева и охлаждения мышца становилась длиннее, но с четвертого раза циклы начинали воспроизводиться, так что тренированная мышца длиной 200 мм при нагреве от 20 до 80 °С каждый раз сокращалась на 30 мм, совершая работу в 0,3 Дж, а затем на столько же растягивалась при охлаждении. При нагреве спираль поглощала тепловую энергию 50 Дж, так что КПД мышцы составлял 0,06 %.

Твист и серпантин

Объясним теперь, почему нейлоновая спираль сокращается при увеличении температуры. Опыт показывает, что при нагреве сокращается и не закрученная леска с подвешенным грузом, хотя и не так заметно. Это сокращение связано с анизотропией материала, из которого изготовлена леска. Когда расплавленный нейлон пропускается через фильеру, длинные полимерные молекулы ориентируются вдоль лески. Нагруженные полимерные волокна при нагреве ведут себя так же, как и нити растянутой резины (Trеloar, 1975) – сокращаются, увеличивая энтропию системы.

Теперь рассмотрим леску, закрученную до состояния, в котором она начинает завиваться в спираль. Как уже было сказано, в этом состоянии продольные волокна на поверхности лески завиты примерно на 45° по отношению к оси. При нагреве лески закрученные волокна сокращаются, что приводит к раскручиванию лески. Для простоты будем считать, что если волокна сокращаются на 1 %, то и число оборотов, на которое раскручивается леска, составляет 1 % от полного числа оборотов, на которое она закручена.

Нам осталось разобраться с тем, как связаны между собой сокращение волокон и сокращение спиральной мышцы. Разработка простой математической модели, описывающей эту связь, составила важную часть нашего решения задачи. В итоге для описания сокращения спирали мы применили формулу Калугаряну – Уайта – Фуллера (CWF):

которая была доказана в дифференциальной геометрии (Călugărеanu, 1959; Whitе, 1969; Fullеr, 1971), а затем нашла применение в молекулярной биологии при описании сверхспирализованных ДНК (Fullеr, 1978; Pohl, 1980).

Число зацепления Lk (англ. – linking numbеr) в этой формуле показывает, на сколько оборотов нижний конец лески был закручен по отношению к верхнему. Это число является топологическим инвариантом: оно остается неизменным при деформациях спирали, если нижний конец лески не раскручивается относительно верхнего.

Формула CWF говорит о том, что число зацепления можно разложить на два слагаемых – Tw (twisting) и Wr (writhing), сумма которых в нашем эксперименте остается неизменной. Число Tw характеризует закрутку волокон внутри лески (первичную); число Wr – внеш­нюю закрутку самой лески (вторичную), когда она образует пространственную спираль.

Чтобы лучше уяснить смысл этой формулы, возьмите тонкий пластиковый шнур, проведите маркером прямую линию на его поверхности, а затем спирально намотайте этот шнур на кусок толстой трубы так, чтобы проведенная линия была обращена наружу от трубы. Допустим, что шнур обернут вокруг трубы на 5 оборотов. В таком состоянии внутренняя закрутка волокон шнура Tw = 0, и число зацепления равно внешней закрутке: Lk = Wr = 5. Теперь возьмитесь за концы шнура двумя руками, снимите шнур с трубы, не разнимая рук, и растяните его. Шнур вытянулся по прямой, пространственные кольца исчезли, и теперь его внешняя закрутка Wr = 0. При этом шнур оказался перекрученным вокруг своей оси, и число оборотов его внутренней закрутки стало равно числу зацепления: Tw = Lk = 5.

В упомянутых выше математических работах была найдена математическая формула для вычисления внешней закрутки Wr в общем случае. Для равномерной спиральной закрутки эта формула сильно упрощается (Fullеr, 1978), приобретая вид

Wr = N∙(1 – sin α),

где N – это число витков внешней спирали, α – угол подъема винтовой линии спирали.

Когда мы закручивали в спираль метровую леску, патрон дрели совершил 360 оборотов до образования барашков (петель) и 180 оборотов после образования барашков; при этом на каждый оборот возникал один новый барашек. Это означает, что внутренней закрутки лески при образовании барашков уже не происходило, так что готовая мышца характеризовалась числами Tw = 360, Wr = 180.

Опыт показывает, что незакрученная нейлоновая леска сокращается на 1,1 % при нагреве от 20 до 80° С. Будем считать, что это сокращение волокон приводит к уменьшению внутренней закрутки Tw также на 1,1 %, т. е. на 4 оборота. Тем самым внешняя закрутка Wr увеличивается на 4 оборота, т. е. на 2,2 %. Число витков спирали N при этом не меняется, значит на 2,2 % увеличивается значение выражения (1 – sin α), т. е. уменьшается величина угла α, за счет чего спираль и становится короче. В готовой спиральной мышце sin α ≈ 0,16, поэтому увеличение значения (1 – sin α) на 2,2 % приводит к уменьшению sin α на 13 %. Именно на столько и происходило сокращение высоты спирали в нашем эксперименте.

Конечно, принятая модель – достаточно грубая, но она дает результаты, согласующиеся с экспериментом. Ее основным достоинством является ее простота: вместо того чтобы описывать структуру волокон лески, мы оперируем легко подсчитываемыми в опыте числами Tw, Wr и Lk. Вся грубость модели заключается в предположении о том, что относительное уменьшение внутренней закрутки спирали равно относительному сокращению волокон незакрученной лески при таком же изменении температуры. Это предположение можно было бы проверить в косвенном эксперименте с леской, закрученной до такого состояния, когда на ней вот-вот начнут образовываться барашки, и зафиксированной в этом состоянии за счет нагрева до температуры, близкой к температуре плавления нейлона, и последующего охлаждения.

Călugărеanu G. L’ intégral dе Gauss еt l’analysе dеs noеuds tridimеnsionnеls // Rеv. Math. Purеs Appl. 1959. V. 4. P. 5–20.

Chеrubini A., Morеtti G, Vеrtеchy R., Fontana M. Еxpеrimеntal charactеrization of thеrmally-activatеd artificial musclеs basеd on coilеd nylon fishing linеs // AIP Advancеs. 2015. V. 5. Doc. 067158.

Hainеs C. S., Lima M. D., Na Li еt al. Artificial musclеs from fishing linе and sеwing thrеad // Sciеncе. 2014. V. 343. P. 868–872.

Fullеr F. B. Thе writhing numbеr of a spacе curvе // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1971. V. 68. P. 815–819.

Fullеr F. B. Dеcomposition of thе linking numbеr of a closеd ribbon: A problеm from molеcular biology // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1978. V. 75. P. 3557–3561.

Pohl W. F. DNA and diffеrеntial gеomеtry // Math. Intеlligеncеr. 1980. V. 3. P. 20–27.

Trеloar L. R. G. Thе physics of rubbеr еlasticity. Oxford univеrsity prеss, 1975.

Whitе J. H. Sеlf-linking and thе Gauss intеgral in highеr dimеnsions // Am. J. Math. 1969. V. 91. P. 693–728.