Прямая линия, принадлежащая плоскости
Аксиома 1. Прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат той же плоскости (рис.).
З адача. Дана плоскость (n,k) и одна проекция прямой m2. Требуется найти недостающие проекции прямой m если известно, что она принадлежит плоскости, заданной пересекающимися прямыми n и k. Проекция прямой m2 пересекает прямые n и k в точках В2 и С2, для нахождения недостающих проекций прямой необходимо найти недостающие проекции точек В и С как точек лежащих на прямых соответственно n и k. Таким образом точки В и С принадлежат плоскости заданной пересекающимися прямыми n и k, а прямая m проходит через эти точки, значит согласно аксиоме прямая принадлежит этой плоскости.
А ксиома 2. Прямая принадлежит плоскости, если имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна какой-либо прямой расположенной в этой плоскости (рис.).
Задача. Через точку В провести прямую m если известно, что она принадлежит плоскости заданной пересекающимися прямыми n и k. Пусть В принадлежит прямой n лежащей в плоскости заданной пересекающимися прямыми n и k. Через проекцию В2 проведем проекцию прямой m2 параллельно прямой k2, для нахождения недостающих проекций прямой необходимо построить проекцию точки В1, как точки лежащей на проекции прямой n1 и через неё провести проекцию прямой m1 параллельно проекции k1. Таким образом точки В принадлежат плоскости заданной пересекающимися прямыми n и k, а прямая m проходит через эту точку и параллельна прямой k, значит согласно аксиоме прямая принадлежит этой плоскости.
Взаимное расположение точки и плоскости
Возможны два варианта взаимного расположения точки и плоскости: либо точка принадлежит плоскости, либо нет. Если точка принадлежит плоскости то из трех проекций, определяющих положение точки в пространстве, произвольно задать можно только одну. Рассмотрим пример (рис.): Построение проекции точки А принадлежащей плоскости общего положения заданной двумя параллельными прямыми a(a//b).
Задача. Дано: плоскость T(а,в) и проекция точки А2. Требуется построить проекцию А1 если известно, что точка А лежит в плоскости в,а. Через точку А2 проведем проекцию прямой m2, пересекающую проекции прямых a2 и b2 в точках С2 и В2. Построив проекции точек С1 и В1, определяющие положение m1, находим горизонтальную проекцию точки А.
Лекция 11, СРСП-11
1. Пересечение двух плоскостей.
2. Нахождение линии пересечения.
3. Определение видимости плоскостей.
Тема: Преобразование проекций.
Лекция 12, СРСП-12
1. Характеристика способов преобразования проекций, их назначение и применение.
2. Способ вращения. Вращение точки, прямой, плоскости. Нахождение натуральной величины прямой, плоскости.
3. Способ перемены плоскостей проекций. Нахождение натуральной величины прямой, плоскости.
4. Способ вспомогательного проецирования. Нахождение натуральной величины прямой, плоскости.
Тема: Деление окружностей на равные части.
Лекция 13, СРСП-13
1. Актуальность темы.
2. Деление окружностей на 3, 6, 12 равных частей.
2. Деление окружностей на 4, 8 равных частей.
3. Деление окружностей на 5,7 равных частей.
4. Деление окружностей на 9 и более равных частей.
Разделение окружности на равные части нам пригодится при создании сложных потолков из гипсокартона, например при разметке расположения встроенных светильников вокруг люстры, или другого центра. Возможно, что и при кладке кафеля и мозаики, а так же при создании других элементов архитектуры и дизайна.
Чтобы разделить окружность на четыре равные части, проводят два взаимно перпендикулярных диаметра: на пересечении их с окружностью получаем точки, разделяющие окружность на четыре равные части (рис.) . Чтобы разделить окружность на восемь равных частей, дуги, равные четвертой части окружности, делят пополам. Для этого из двух точек, ограничивающих четверть дуги, как из центров радиусов окружности выполняют засечки за ее пределами. Полученные точки соединяют с центром окружностей и на пересечении их с линией окружности получают точки, делящие четвертные участки пополам, т. е. получают восемь равных участков окружности.
На двенадцать равных частей окружность делят следующим образом. Делят окружность на четыре части взаимно перпендикулярными диаметрами. Приняв точки пересечения диаметров с окружностью А, В, С, D за центры, величиной радиуса проводят четыре дуги до пересечения с окружностью. Полученные точки 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и точки А, В, С, Dразделяют окружность на двенадцать равных частей.
Пользуясь радиусом, нетрудно разделить окружность и на 3, 5, 6, 7 равных участков.
Тема: Аксонометрия.
Лекция 14, СРСП-14
1. Виды аксонометрии.
2. Способы построения осей Х, Y,Z в основных видах:
- косоугольной фронтальной диметрической,
- прямоугольной изометрической проекциях.
3. Коэффициент искажения по осям.
Для построения наглядных изображений предметов рекомендуется применять следующие виды аксонометрических проекций:
а) изометрическая проекция;
б) диметрическая проекция.
а) фронтальная изометрическая проекция;
б) горизонтальная изометрическая проекция;
в ) фронтальная диметрическая проекция.
Прямоугольная изометрическая проекция
Расположение аксонометрических осей показано на рисунке. Все три оси образуют между собой равные углы в 120. Ось OZ располагается вертикально.
Коэффициент искажения по все трем осям равен 0,82. На практике прямоугольную изометрическую проекцию обычно строят без сокращения размеров по осям - все размеры, параллельные осям, принимают с коэффициентом искажения равным единице.
Получается изображение, подобное точной проекции, но увеличенное в 1, 22 раза. На рисунке показаны направления осей эллипсов, изображающих окружности, расположенные в плоскостях, параллельных координатным плоскостям.
Большие оси АВ перпендикулярны к соответствующим аксонометрическим осям. Малые оси CD перпендикулярны к АВ и параллельны соответствующим аксонометрическим осям. Все три эллипса равны.
Прямоугольная диметрическая проекция
Расположение аксонометрических осей показано на рисунке. Ось OZ располагается вертикально. Для построения угла, приблизительно равного 7 0 10 ' , строят прямоугольный треугольник с катетами 1 и 8 единиц. Для построения угла, приблизительно равного 41 0 25 ' , строят прямоугольный треугольник с катетами 7 и 8 единиц.
Коэффициенты искажения по сям OX и OZ равны 0,94, а по оси OY - 0,47. Эти приведенные округленные коэффициенты искажения соответственно равны 1 и 0,5. При построении диметрической проекции ГОСТ рекомендует пользоваться только приведенными коэффициентами.
П ри этом изображениеувеличивается в 1,06 раза. На рисунке показаны направления осей эллипсов, изображающих окружности. Большие оси АВ перпендикулярны к соответствующим аксонометрическим осям. Малые оси CD перпендикулярны к АВ и параллельны соответствующим аксонометрическим осям.
Лекция 15, СРСП-15
4. Окружности в аксонометрии.
5. Построение геометрических фигур в трех проекциях.
6. Построение геометрических фигур в аксонометрии.
Окружность в аксонометрии
О кружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям проекций проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в эллипсы (рис.). Если изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям x, y, z, то большая ось эллипсов 1, 2, 3 равна 1,22, а малая ось – 0,71 диаметра окружности. Если изометрическую проекцию выполняют с искажением по осям x, y, z, то большая ось эллипсов 1, 2, 3 равна диаметру окружности, а малая ось – 0,58 диаметра окружности.
Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в эллипсы (рис.). Если диметрическую проекцию выполняют без искажения по осям x и z, то большая ось эллипсов 1, 2, 3 равна 1,06 диаметра окружности, а малая ось эллипса 1 – 0,95, эллипсов 2 и 3 – 0,35 диаметра окружности. Если диметрическую проекцию выполняют с искажением по осям x и z, то большая ось эллипсов 1, 2, 3 равна диаметру окружности, а малая ось эллипса 1 – 0,9, эллипсов 2 и 3 – 0,33 диаметра окружности.