В чём суть неэвклидовых геометрий словами школьника?
Насколько я знаю, началось всё с аксиомы: "через две точки можно провести рямую, причём только одну". Пытаясь доказать либо опровергнуть это утверждение, пошли "методом от противного": предположили, что (1) можно провести бесконечно много прямых или (2) провести нельзя ни одной.Каждое из этих предположений позволило построить стройную теорию - геометрию Лобачевского и геометрию Римана (я не помню, которая из них из какого предположения исходит).
Так мне в детстве объясняла мать - она была доцентом математики в МГУ, но не геометром, а алгебраистом.
Все почти так, но самое главное, аксиому, Вы не ту указали.Там же что-то про параллельные прямые должно быть, правда?
Например, в такой формулировке:Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и только одну.
Ну, возьми листочек бумаги. Резать и склевать концы запретим. Пусть ты его можешь гнуть, но не можешь растягивать. Это важно.
На нем что-нибудь нарисуй. И гни.
Если листочек плоский, то на глобус или на седло ты его не натянешь, а на боковую поверхность цилиндра или конуса - запросто.Если ты построишь, например, треугольник на листочке, а потом наложишь листочек на боковую поверхность конуса, то углы треугольника не изменится. Стороны не изменятся. Всё это определяется в рамках внутренней геометрии, которая для плоского листочка при указанных услвиях не меняется, а потому остается евклидовой.
А если представить, что листочек изначально у нас был не плоский, а, например, был содран со сферы (шапочка такая) или с седла, то геометрия на нем - неевклидова.
Евклид – автор первого дошедшего до нас строгого логического построения геометрии. В нем изложение настолько безупречно для своего времени, что в течение двух тысяч лет с момента появления его труда “Начал” оно было единственным руководством для изучающих геометрию.“Начала” состоят из 13 книг, посвященных геометрии и арифметике в геометрическом изложении.Каждая книга “Начал” начинается определением понятий, которые встречаются впервые. Так, например, первой книге предпосланы 23 определения. В частности,Определение 1. Точка есть то, что не имеет частей.Определение 2. Линия есть длины без шириныОпределение 3. Границы линии суть точки.Вслед за определениями Евклид приводит постулаты и аксиомы, то есть утверждения, принимаемые без доказательства.Постулаты:
I. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.II . И чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.III. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.IV. И чтобы все прямые углы были равны.V. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.Аксиомы:I. Равные порознь третьему равны между собой.II. И если к ним прибавим равные, то получим равные.III. И если от равных отнимем равные, то получим равные.IV. И если к неравным прибавим равные, то получим неравные.V. И если удвоим равные, то получим равные.VI. И половины равных равны между собой.VII. И совмещающиеся равны.VIII. И целое больше части.IX. И две прямые не могут заключать пространства.Иногда IV и V постулаты относят к числу аксиом. Поэтому пятый постулат иногда называют XI аксиомой. По какому принципу одни утверждения относятся к постулатам, а другие к аксиомам, неизвестно.Никто не сомневался в истинности постулатов Евклида, что касается и V постулата. Между тем уже с древности именно постулат о параллельных привлек к себе особое внимание ряда геометров, считавших неестественным помещение его среди постулатов. Вероятно, это было связано с относительно меньшей очевидностью и наглядностью V постулата: в неявном виде он предполагает достижимость любых, как угодно далеких частей плоскости, выражая свойство, которое обнаруживается только при бесконечном продолжении прямых.
Это три геометрии можно задать с помощью параллельных и окружностей. На самом же деле таких геометрий чёртова уйма. Единственное и основное их отличие - это способ измерения расстояния. И если для Евклидовой геометрии "Теорема Пифагора", то для г. Лобачевского уже (см. фото). Остальные уже задаются через метрический тензор.
Евклид – автор первого дошедшего до нас строгого логического построения геометрии. В нем изложение настолько безупречно для своего времени, что в течение двух тысяч лет с момента появления его труда “Начал” оно было единственным руководством для изучающих геометрию.“Начала” состоят из 13 книг, посвященных геометрии и арифметике в геометрическом изложении.Каждая книга “Начал” начинается определением понятий, которые встречаются впервые. Так, например, первой книге предпосланы 23 определения. В частности,Определение 1. Точка есть то, что не имеет частей.Определение 2. Линия есть длины без шириныОпределение 3. Границы линии суть точки.Вслед за определениями Евклид приводит постулаты и аксиомы, то есть утверждения, принимаемые без доказательства.Постулаты:
I. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.II . И чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.III. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.IV. И чтобы все прямые углы были равны.V. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.Аксиомы:I. Равные порознь третьему равны между собой.II. И если к ним прибавим равные, то получим равные.III. И если от равных отнимем равные, то получим равные.IV. И если к неравным прибавим равные, то получим неравные.V. И если удвоим равные, то получим равные.VI. И половины равных равны между собой.VII. И совмещающиеся равны.VIII. И целое больше части.IX. И две прямые не могут заключать пространства.Иногда IV и V постулаты относят к числу аксиом. Поэтому пятый постулат иногда называют XI аксиомой. По какому принципу одни утверждения относятся к постулатам, а другие к аксиомам, неизвестно.Никто не сомневался в истинности постулатов Евклида, что касается и V постулата. Между тем уже с древности именно постулат о параллельных привлек к себе особое внимание ряда геометров, считавших неестественным помещение его среди постулатов. Вероятно, это было связано с относительно меньшей очевидностью и наглядностью V постулата: в неявном виде он предполагает достижимость любых, как угодно далеких частей плоскости, выражая свойство, которое обнаруживается только при бесконечном продолжении прямых.
школьники, вообще-то, бывают разные.
Я вот, например, до девятого класса Евклида не читал. А Лобачевского - читал.Поэтому, соответственно, о Евклиде у меня было несколько искажённое представление.И потому суть неевклидовых геометрий для меня состояла просто в отсутствии в них параллельности. Потому что когда параллельных больше одной, это уже всё равно как бы не то.))))))