2.6. Контрольные задания к главе 2

1. На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC = 2 : 3 .

Разложить вектор AK по векторам a = AB и b = AC .

2. Даны точки A (3;2; − 1), B (1; − 4;3), C (0;3; − 1), D ( − 6;3;5) . Найти:

а) координаты вектора KN , где K – середина отрезка AB , а точка N делит отрезок CD в отношении 1: 2 ;

б) проекцию вектора AB на ось, определяемую вектором CD .

3. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на век-

торах a (1;0;1), b (1;2; − 1) .

Найти скалярное произведение векторов a = 2 p − q и

b = p + 3 q , если

| p | = 2 , | q | = 1, ( p , q ) = π .

Вектор x перпендикулярен оси Ox и вектору p и образует острый угол с

осью Oy . Найти координаты вектора x , если p = (1; 2 ; 6),

6. Найти площадь треугольника с вершинами A (3;2; − 1) , B (1; − 4;3) ,

7. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A (3;2; − 1) ,

B (1; − 4;3) , C (0;3; − 1), D ( − 6;3;5) .

8. Найти базис системы векторов a = (1; − 2;3), b = (4;7;2), c = (6;4;2) , d = (14;18;6) . Выразить небазисный вектор через базисные.

1. На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC = 1: 4 .

Разложить вектор AK по векторам a = AB и b = AC .

2. Даны точки A (3;2; − 1), B ( − 3; − 4;5), C (1;3; − 4), D (6;3; − 4) . Найти:

а) координаты вектора KN , где K – середина отрезка CD , а точка N делит отрезок AB в отношении 1: 4 ;

б) проекцию вектора AB на ось, определяемую вектором CD .

3. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на век-

торах a (3;0; − 3), b (1;4;1) .

4. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + q и b = p − 3 q , если

| p | = 1, | q | = 2 , ( p , q ) = π 3 .

5. Вектор x перпендикулярен оси Ox и вектору p и образует острый угол с осью Oy . Найти координаты вектора x , если p = (6;1;7), x = 5 2 .

6. Найти площадь треугольника с вершинами A ( − 3;2;1) , B (4; − 1;3) ,

7. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A ( − 3;2;1) ,

B (4; − 1;3) , C (3;0; − 1), D (6; − 3;5) .

8. Найти базис системы векторов a = (2; − 1;11), b = (1;1;0), c = (0;1;2) , d = (2;5;6) . Выразить небазисный вектор через базисные.

1. На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC = 2 :1.

Разложить вектор AK по векторам a = AB и b = AC .

2. Даны точки A (2;3; − 1), B (4; − 1;3), C ( − 6;5;3), D (0; − 1;3) . Найти:

а) координаты вектора KN , где K – середина отрезка AB , а точка N делит отрезок CD в отношении 2 :1;

б) проекцию вектора AB на ось, определяемую вектором CD .

3. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах

a ( − 1; − 1;0), b (1; − 1;2) .

Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3 q и b = p + q , если

| p | = 2 , | q | = 2 , ( p , q ) = π .

Вектор x перпендикулярен оси Ox и вектору p и образует острый угол с

осью Oy . Найти координаты вектора x , если p = ( − 4; − 3;6),

6. Найти площадь треугольника с вершинами A (0; − 2;5) , B (1;4;3) , C (6;3; − 1) .

7. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A (0; − 2;5) , B (1;4;3) ,

C (6;3; − 1), D ( − 1;3;5) .

8. Найти базис системы векторов a = (8;2;3), b = (4;6;10), c = (3; − 2;1) ,

d = (7;4;11) . Выразить небазисный вектор через базисные.

1. На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC = 3: 2 .

Разложить вектор AK по векторам a = AB и b = AC .

2. Даны точки A (5; − 2;4), B ( − 1; − 4;2), C (0;3;1), D ( − 4;3;5) . Найти:

а) координаты вектора KN , где K – середина отрезка AB , а точка N делит отрезок CD в отношении 1: 3 ;

б) проекцию вектора AB на ось, определяемую вектором CD .

3. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах

4. Найти скалярное произведение векторов a = 3 p − q и b = p + 2 q , если | p | = 1,

| q | = 1, ( p , q ) = π 3 .

5. Вектор x перпендикулярен оси Ox и вектору p и образует острый угол с осью Oy . Найти координаты вектора x , если p = (2;5;0), x = 3.

6. Найти площадь треугольника с вершинами A ( − 3; − 2;1) , B (0;3; − 1) ,

7. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A ( − 3; − 2;1) ,

B (0;3; − 1) , C (2;0;1), D ( − 4;2;3) .

8. Найти базис системы векторов a = (10;3;1), b = (1;4;2), c = (3;9;2) ,

d = (19;30;7) . Выразить небазисный вектор через базисные.

1. На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC = 3: 4 .

Разложить вектор AK по векторам a = AB и b = AC .

2. Даны точки A (3;2;0), B ( − 1; − 4;2), C (4; − 3;5), D (0; − 3;1) . Найти:

а) координаты вектора KN , где K – середина отрезка AB , а точка N делит отрезок CD в отношении 3:1;

б) проекцию вектора AB на ось, определяемую вектором CD .

3. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах

a (3;0;3), b ( − 1; − 2;1) .

Найти скалярное произведение векторов a = p + 3 q и b = p − 2 q , если

| p | = 3 , | q | = 1, ( p , q ) = π .

Вектор x перпендикулярен оси Ox и вектору p и образует острый угол с

осью Oy . Найти координаты вектора x , если p = (7; − 2;5),

6. Найти площадь треугольника с вершинами A (4;5;1) , B (0; − 3; − 2) ,

7. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A (4;5;1) , B (0;3; − 2) ,

C (2;0; − 4), D ( − 7;1;2) .

8. Найти базис системы векторов a = (2;4;1), b = (1;3;6), c = (5;3;1) ,

d = (24;20;6) . Выразить небазисный вектор через базисные.

1. На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC = 2 : 5 .

Разложить вектор AK по векторам a = AB и b = AC .

2. Даны точки A (5; − 1; − 1), B (1;3;5), C (6;5;3), D (1;5; − 2) . Найти:

а) координаты вектора KN , где K – середина отрезка AB , а точка N делит отрезок CD в отношении 4 :1;

б) проекцию вектора AB на ось, определяемую вектором CD .

3. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах

a (2;2;0), b ( − 2;2; − 4) .

4. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3 q и b = p + q , если

| p | = 2 , | q | = 2 , ( p , q ) = π 3 .

5. Вектор x перпендикулярен оси Oy и вектору p и образует тупой угол с осью Oz . Найти координаты вектора x , если p = (3; − 6;4), | x | = 30 .

6. Найти площадь треугольника с вершинами A (2; − 2;4) , B (3;4;1) ,

7. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A (2; − 2;4) , B (3;4;1) ,

C (1; − 2; − 1), D ( − 1;4; − 5) .

8. Найти базис системы векторов a = (1; − 3; − 3), b = (4;7;8), c = (9;1;3) ,

d = (2; − 4;4) . Выразить небазисный вектор через базисные.

1. На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC = 3: 5 .

Разложить вектор AK по векторам a = AB и b = AC .

2. Даны точки A ( − 5;2; − 4), B (1; − 4;2), C (0;3;4), D (5;3;4) . Найти:

а) координаты вектора KN , где K – середина отрезка AB , а точка N делит отрезок CD в отношении 2 : 3;

б) проекцию вектора AB на ось, определяемую вектором CD .

3. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a (5;2;3), b ( − 1;2; − 5) .

4. Найти скалярное произведение векторов a = p − 2 q и b = 4 p + q , если

| p | = 2 , | q | = 1, ( p , q ) = π 3 .

5. Вектор x перпендикулярен оси Oy и вектору p и образует тупой угол с осью Oz . Найти координаты вектора x , если p = (9;7;12), x = 20 .

6. Найти площадь треугольника с вершинами A (2;0; − 1) , B (4; − 3;1) ,

7. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A (2;0; − 1) ,

B (4; − 3;1) , C ( − 3;5; − 3), D (4; − 2;3) .

8. Найти базис системы векторов a = (3;2;2), b = (2;3;1), c = (1;1;3) , d = (5;1;11) .

Выразить небазисный вектор через базисные.

1. На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC = 5 : 2 .

Разложить вектор AK по векторам a = AB и b = AC .

2. Даны точки A ( − 4;1;3), B (2; − 3;5), C ( − 1; − 3;4), D (5;3;4) . Найти:

а) координаты вектора KN , где K – середина отрезка AB , а точка N делит отрезок CD в отношении 1: 5 ;

б) проекцию вектора AB на ось, определяемую вектором CD .

3. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах

a ( − 6;0;6), b ( − 2; − 8; − 2) .

4. Найти скалярное произведение векторов a = p + 2 q и b = − 4 p + q , если

| p | = 1, | q | = 2 , ( p , q ) = π 3 .

5. Вектор x перпендикулярен оси Oy и вектору p и образует тупой угол с осью Oz . Найти координаты вектора x , если p = (8;12;8), x = 3 2 .

6. Найти площадь треугольника с вершинами A ( − 2;1;3) , B (4; − 5;7) ,

7. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A ( − 2;1;3) ,

B (4; − 5;7) , C (3;6; − 4), D (5; − 2;2) .

8. Найти базис системы векторов a = (7;1;3), b = ( − 2;5;4), c = ( − 3;1;2) , d = ( − 3;14;10) . Выразить небазисный вектор через базисные.

1. На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC = 5 : 3.

Разложить вектор AK по векторам a = AB и b = AC .

2. Даны точки A ( − 7;4;9), B (3; − 2; − 5), C ( − 1;4; − 3), D (9;4;2) . Найти:

а) координаты вектора KN , где K – середина отрезка AB , а точка N делит отрезок CD в отношении 3: 2;

б) проекцию вектора AB на ось, определяемую вектором CD .

3. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах

4. Найти скалярное произведение векторов a = 3 p + 2 q и b = 4 p − q , если

| p | = 3 , | q | = 2 , ( p , q ) = π 3 .

5. Вектор x перпендикулярен оси Oy и вектору p и образует тупой угол с осью Oz . Найти координаты вектора x , если p = (0; − 4; − 9), x = 1.

6. Найти площадь треугольника с вершинами A (7;11; − 3) , B (4;5; − 7) ,

7. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A (7;11; − 3) ,

B (4;5; − 7) , C (3;5; − 1), D (6;4; − 2) .

8. Найти базис системы векторов a = (1;2;4), b = (1; − 1;1), c = (2;2;4) ,

d = ( − 1; − 4; − 2) . Выразить небазисный вектор через базисные.

1. На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC = 3: 7 .

Разложить вектор AK по векторам a = AB и b = AC .

2. Даны точки A (10; − 6;1), B ( − 4;2;3), C (1;3; − 2), D (7;3; − 2) . Найти:

а) координаты вектора KN , где K – середина отрезка AB , а точка N делит отрезок CD в отношении 5 :1;

б) проекцию вектора AB на ось, определяемую вектором CD .

3. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах

4. Найти скалярное произведение векторов a = 3 p + 2 q и b = 2 p − q , если

| p | = 1, | q | = 4 , ( p , q ) = π 3 .

5. Вектор x перпендикулярен оси Ox и вектору p и образует острый угол с осью Oy . Найти координаты вектора x , если p = (20; − 3; − 15), x = 25 .

6. Найти площадь треугольника с вершинами A (3; − 5;2) , B (1; − 2;1) , C (2;1;6) .

7. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A (3; − 5;2) ,

B (1; − 2;1) , C (2;1;6), D (4; − 2; − 1) .

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎