Решение задач на смешивание растворов и сплавов

Скачать:

ВложениеРазмер reshenie_zadach_na_smeshivanie_rastvorov_i_splavov.doc 455.59 КБ prezentatsiya_k_pokazu_copy.ppt 1.59 МБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное образовательное учреждение

Работа для Научного Сообщества Учащихся (НОУ)

Тема: «Решение задач на смешивание растворов и сплавов»

Ученица 9 «А» класса

Долгова Валентина Александровна

Старинный способ решения……………6

Решение задач методом стаканчиков…13

Сложные задачи. Сложный метод…….26

Использованный ресурсы…………………… 30

«Решение задач на смешение растворов и процентное содержание вещества в растворе и сплаве»

Что интереснее всего: решать задачи про то, чего не можешь представить или представлять то, чего не можешь решить? Что интереснее в математике: решать задачи про движение или же про смеси растворов? Искать количество или процентное содержание? На самом деле, интерес к данным тематикам может быть вполне равным, но сегодня я хочу поговорить о втором типе задач, наиболее редко встречающемся, но крайне полезным в жизни. Вы спросите: «Где же в жизни нам могут понадобится задачи на сплавы и растворы? Разве не находят они применение только в химии или же бытовых экспериментах?» Я же могу сказать, что задачи на процентное содержание вещества в сплавах и растворах поджидают человека всегда: решаете ли вы сколько сахара положить в чай в соответствии с пропорцией обычной чашки или же пытаетесь определить стоимость кольца, содержание золота в котором менее 50%. Такие задачи, как выяснилось, не самые простые не только для понимания школьниками, но и для решения даже взрослыми, именно поэтому я хотела бы сегодня о них рассказать. Примечательно также, что такие задачи встречаются в ГИА и ЕГЭ, поэтому их решение очень полезно для учащихся. Как и у множества задач, применимых к жизни, данный тип имеет несколько нестандартных видов решения, которые я бы с удовольствием продемонстрировала на наглядных примерах, поэтому в этой работе я ставлю для себя следующие цели:

Изложение теории задач на процентное содержание в растворах
Представление различных способов решения задач с примерами
Выбор наиболее простого на мой взгляд решения

Надеюсь, моя работа покажется Вам интересной и во многом поможет в дальнейшем, поэтому, давайте приступим!

Глава I. Теория задач на процентное содержание

Прежде того, как изучать, непосредственно, саму теорию, я считаю нужным, пояснить, что же такое, собственно, задачи на процентное содержание вещества в растворе или сплаве.

Задачи на процентное содержание – задачи, в которых требуется выяснить содержание того или иного элемента. В такой задаче может быть задан вопрос, например, о концентрации какого-то вещества, после переливания жидкости или смешения еще одного металла в сплаве. Чаще всего, в такого типа задачах, речь идет о смещение именно двух металлов или же смешении воды и какого-то вещества, однако встречаются также и задачи на смешение трех и более элементов, но, спешу заверить, они встречаются гораздо реже, так как рассчитаны на достаточно высокий уровень знаний.

Также, хочу сказать, что эти задачи можно рассматривать с двух сторон: математической стороны и стороны химии. Мы будем рассматривать со стороны математической, однако даже в их решение принимаются допущения из химии.

В работе приведены решения нескольких задач, а также предложены задачи для самостоятельного решения. Для удобства к задачам прилагаются ответы.

Как и у многих математических задач, задачи на смешение растворов и сплавов имеют несколько способ решения. Но для начала, давайте вспомним теорию.

Составными частями данного типа задач являются:

Масса/массовая доля растворенного вещества
Масса/массовая доля раствора
масса получившейся смеси

Концентрация вещества - отношение количества растворённого вещества или его массы к объёму раствора (моль/л, г/л), то есть это отношение неоднородных величин. Концентрация – отношение объема чистого вещества к объему всего раствора.

Если раствор m и состоит из веществ A, B, C, массы которых соответственно mA, mB, mC, то величину mA/m( а также mB/m и mC/m) и называют концентрацией вещества в растворе.

Процентное содержание – величина, показывающая в процентах долю вещества. Похожа на концентрацию, только уже в процентах.

mA/m * 100% - процентное содержание вещества. (а также mB/m*100% и mC/m*100%).

Поскольку доли в растворе всегда должны быть равны единому веществу, то для любой задачи справедливо данное выражение:

В таких задачах используют следующие допущения:

все полученные растворы(сплавы или смеси) – однородны
смешивание растворов происходит мгновенно
объем полученного раствора или сплава всегда равен сумме его составляющих
объем растворов и массы сплавов не могут быть отрицательными
не делается различия между литром, как мерой вместимости сосуда и литром как мерой жидкости (или газа)
потери некоторого количества вещества(массы), которые возможны в силу протекания соответствующей хим. реакции (или физических процессов) считаются незначительными, если происходят во время хим. реакции.

Старинный способ решения задачи(«Метод креста», также «Конверт Пирсона»)

Данный старинный способ решения задач на смешение растворов и сплавов был подробно описан в первом русском учебнике математики, написанном великим русским деятелем педагогики и математических наук Леонтием Филипповичем Магницким в его учебнике “Арифметика” 1703 года и до сих пор находит себе самое почетное место в современных учебниках алгебры.

Кстати, также необходимо отметить, что это самый распространенный тип решения задач на смешение растворов, гораздо более удобный чем табличное решение.

a – первый раствор кислоты, которую надо смешать

b – второй раствор кислоты, который нужно смешать

c – раствор, который должен получиться

Так как если принять, что c

Пусть требуется смешать растворы а -процентной и b -процентной кислоты, чтобы получить с -процентный раствор. Пусть а b , причем a c b : если с a или c > b , то с -процентный раствор, конечно получить нельзя. Пусть берется х частей первого раствора и у частей второго.

a+b = c, тогда преобразуем это в выражение:

( b – c ) y = ( c – a ) x, из которого можно вывести следующее:

, тогда для решения подобных задач применима вот такая схема:

где с – желаемое, финальное число

а – масса или процентное содержание первого(обычно меньшего) раствора

в – масса или процентное содержание второго раствора (соответственно, большего).

Давайте теперь решим задачу, в соответствии со старинным методом.

Определите, в какой пропорции нужно взять растворы соли 60% и 10% концентрации для приготовления раствора 25% концентрации.

Решение: для решения задачи необходимо построить схему, по аналогии с предыдущей.

Значит, для того чтобы из 60%-ого и 10%-ого растворов солей получить 25%-ный, соли нужно смешать кислоты в пропорции 35:15, то есть7:3.

Ответ: растворы солей должны быть взяты в пропорции 7:3.

Также в задаче может быть другой вопрос, например, может быть запрашиваема не только пропорция, а массы необходимых для реакции веществ. Тогда справедливой является такая схема:

где, m – масса необходимого количества первого вещества

n – масса необходимого второго вещества.

Тогда давайте решим еще одну задачу, в которой будет фигурировать не только пропорция и процентное содержание, но и массы веществ.

Пресная вода содержит 0% соли, морская – 8%. Сколько кг пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, для того, чтобы получить содержание соли в растворе 5%?

Пусть масса пресной воды – x кг, которую необходимо добавить к морской. Составим схему:

Напомню, x – масса пресной воды в килограммах, а 30 кг – масса морской воды.

Значит, вещества должны быть смешаны в пропорции 3:5, а поскольку морской воды уже 30 кг, то пресную легко высчитать из уравнения 5x = 3*30, 5x=90, а x=18.

Ответ: необходимо добавить 18 кг пресной воды.

Такие же задачи можно решать и с большим количеством составляющих, хотя даже задача с 3 растворами уже вызывает большее затруднение, чем с двумя, поэтому я объясню какие принципиальные моменты нужны отложить в голове для решения задачи на сплавы и растворы с тремя составляющими методом Креста.

Итак, задача на смешение трех растворов.

Имеются три раствора с различным процентным содержанием в них какого-либо вещества, например, соли.

Раствор А с процентным содержанием соли в нем = a%

Раствор B с процентным содержанием соли = b%

И раствор С с процентным содержанием соли = c%.

Новый раствор, который необходимо получить, имеет процентное содержание k%.

Теперь составим схемы для смешивания раствора А с растворов В и раствора А с раствором С.

Далее, проще всего решать эту задачу совмещая растворы, получившиеся обеих картинках. То есть, смешать раствор, полученный из первого и второго компонентов, и раствор, полученный из первого и третьего компонентов.

Для наглядности продолжим схему:

ответ, который мы можем получить из данной схемы таков: для того, чтобы получить раствор с концентрацией соли k%, необходимо смешать первый раствор в количестве (b-k)+(c-k) или же, что то же самое, b+c-2k, второй и третий растворы в количестве k-a каждый.

Теперь же давайте рассмотрим решение такой задачи на примере.

Некто имеет чай трёх сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях надо смешать эти сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт?

Составим таблицу, где в числах укажем количество фунтов за каждый сорт чая.

Ответ: необходимо взять 6 + 2 = 8 частей чая ценой 5 гривен за фунт и по одной части ценой 8 гривен и 12 гривен за один фунт.

Возьмем 8/10 фунта чая ценой по 5 гривен за фунт и по 1/10 фунта чая ценой 8 и 12 гривен за фунт, то получим 1 фунт чая ценною 8/10 * гривен + 1/10 * 8 гривен + 1/10 * 12 гривен = 6 гривен.

Вот так, приблизительно, решаются задачи на смешение растворов и сплавов методом Креста, или как его еще называют конвертом Пирсона, но все равно необходимо понимать, что для каждой задачи необходим свой особенный подход и этот метод, будучи самым распространенным, тем не менее, подходит не для всех задач.

Теперь я предлагаю рассмотреть менее формальный, но более наглядный метод. Хочу заметить, что им очень удобно пользоваться во время решения задач именно на сплавы.

Решение задач методом стаканчиков

Одним из интереснейших и наиболее наглядных и простых методов решения задач на сплавы и растворы является так называемый Метод стаканчиков.

Метод стаканчиков, по сути, является новым методом, поскольку был введен тогда, когда задачи по смешиванию растворов стали входить в обязательный курс математики, потому что когда эти задачи решались в химии, то использовались чаще методы Креста и таблицы, о которых я расскажу чуть позже.

Суть данного метода заключается в том, что условие задачи вписывается в три нарисованных стакана(первый и второй – смешиваемые вещества, третий – желаемое) , где сверху приписывается масса, данная в условии, чуть ниже – процентное содержание вещества, а внизу – общая масса, то есть произведение массы вещества и ее процентного содержания.

Теперь давайте попробуем решить задачу данной схемой.

Вместе слили два раствора. Первый раствор, процентным содержанием 24%, имеет массу 30 граммов, а второй, процентным содержанием 12% - 75 граммов. Какой будет массовая доля серной кислоты?

Далее, решим задачу:

30г × 0,24+75 × 0,12= x г × 0,36

Ответ: масса вещества, получившегося в ходу смешивания данных двух растворов равна 45 граммов.

Если же решать такую же задачу со сплавами, то данные заносятся в таком же практически порядке, но не в стаканчики, а в бруски.

По сути, решение задачи совершенно такое же, как и со стаканчиками, поэтому я продемонстрирую это на одном примере, а остальные задачи для практики этого метода вы можете найти уже в Приложении к работе.

Задача: Внимание! Задача из ГИА!

Имеются 2 сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 30% золота, а его масса 10 г, во втором сплаве - 50% золота, а масса 15 г. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получился из них новый сплав, содержащий 35% золота? Какова будет его масса?

Для начала давайте вычислим в какой пропорции нужно смешать два сплава, чтобы получить сплав с примесью 35%.

Обозначим примеси в первом растворе – m, а во втором – n, тогда:

30 m + 50 n = 35(m + n)

30 m – 35 m = 35 n – 50 n

Значит, для того, чтобы получить раствор с содержанием примесей 35%, нужно смешать два сплава в пропорции 1:3.

Чтобы выяснить, какой массы будет полученный раствор, нужно составить вот такое уравнение:

10 × 0,3 + 15 × 0,5 = 0,35 × x

Значит, масса полученного при смешение сплавов раствора равна 30 граммам. Задача решена.

Ответ: сплавы нужно взять в соотношении 1:3, а масса полученного раствора равняется 30 граммам.

Задача: Внимание! Задача из ГИА!

Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Составим нам уже знакомую схему:

А теперь, для решения задачи, составим уравнение:

0,1 × X + 0,4 × (X+3) = 0,3 × (X+X+3)

0,1 X+ 0,4 X + 1,2 = 0,3 X +0,3 X + 0,9

0,5 X + 1,2 = 0,6 X + 0,9

0,5 X – 0,6 X = 0,9 – 1,2

Поскольку, масса третьего вещества задана формулой X+X+3, то его масса равна 3+3+3=9

Ответ: масса третьего вещества равна 9 кг.

Теперь, пора перейти к новому методу решения задач на смеси и сплавы – алгебраическому методу. Задачи для решения можно найти в Приложении.

Следующий метод, по моему мнению, труднее чем предыдущие, потому что он не столь нагляден, хотя является довольно популярным и считается более классическим, чем метод стаканчиков.

Суть табличного метода в том, чтобы заносить условия задачи в таблицы. Общий упрощенный вид таблицы выглядит вот так:

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎