Моделирование движения космического аппарата по гало-орбите вокруг точки L2 системы Солнце-Земля Текст научной статьи по специальности «Физика»

Данная работа посвящена разработке стратегии удержания космического аппарата на гало-орбите в окрестности точки L2 системы Солнце-Земля , ее программной реализации и ее анализу. Разработанная стратегия применима не только для гало-орбит, но и для любых ограниченных орбит в окрестности коллинеарных точек либрации.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Николаева Ю. А., Аксенов С. А.

Текст научной работы на тему «Моделирование движения космического аппарата по гало-орбите вокруг точки L2 системы Солнце-Земля»

Моделирование движения космического аппарата по гало-орбите вокруг точки L2 системы Солнце-Земля

Николаева Ю.А., Аксенов С.А.

Московский институт электроники и математики НИУВШЭ Nikolaeva.juli(cp,gmail.сот, aksenov.s.a@gmail.com

Аннотация. Данная работа посвящена разработке стратегии удержания космического аппарата на гало-орбите в окрестности точки L2 системы Солнце-Земля, ее программной реализации и ее анализу. Разработанная стратегия применима не только для гало-орбит, но и для любых ограниченных орбит в окрестности коллинеарных точек либрации.

Ключевые слова: гало-орбита, точка либрации, система Солнце-Земля.

Точками либрации в ограниченной задаче трех тел называют точки равновесия тела с меньшей массой относительно массивных тел. В исследуемой задаче телом с меньшей массой является космический аппарат (КА), телами с большей массой - Солнце и Земля. Существуют 5 точек либрации. Точки либрации Ll, L2 и L3 лежат на прямой, соединяющей массивные тела, L4, L5 - на орбите одного из массивных тел. В данной задаче точка L2 расположена за Землей.

Гало-орбитами называется класс периодических орбит вокруг коллинеарных точек либрации (точек, лежащих на прямой). Они образуются при совпадении периодов обращения КА в плоскости эклиптики и плоскости, перпендикулярной ей.

Впервые гало орбиты были предложены Робертом Фаркуаром в его диссертации [Farquhar, 1970]. В рамках программы Apollo он предложил использовать дополнительный аппарат, помещенный на гало-орбиту вокруг точки L2 системы Земля-Луна, для связи с луноходом, расположенным на обратной стороне Луны. Несмотря на то что данная идея не была реализована, впоследствии гало-орбиты широко использовались в космических миссиях. Наиболее известными из них являются:

■ ISEE-3, АСЕ - помещены на орбиту вокруг точки L1 системы Солнце-Земля;

■ Herschel, Plank - помещены на орбиту вокруг точки L2 системы Солнце-Земля.

Движение аппарата по гало-орбите является неустойчивым, т.е. малое отклонение от начальных параметров приводит к отклонению КА от

орбиты и в итоге к выходу из окрестности точки либрации. Для поддержания движения КА на орбите используются т.н. импульсы коррекции (корректирующие импульсы), призванные нивелировать неустойчивую компоненту движения. Комплекс мер, принимаемых для удержания КА на орбите, называется стратегией удержания КА на гало-орбите. Под стратегией обычно понимаются периодичность, место совершения, величина и направление импульсов коррекции, а также непосредственно методика их расчета. Существуют несколько концепций стратегий удержания КА на орбите, но они, как правило, требуют существенных вычислений или сложны в разработке [Simo et al., 1987, Dunham et al., 2001, Gomez et al.]

В реальности существуют технические ограничения точности определения положения скорости аппарата, а также ограничения на минимальную величину импульса и точность его исполнения [Николаева и др., 2014]. В данном исследовании указанные ограничения не учитываются, т.е. предполагается, что параметры аппарата известны точно и нет ограничений на величину корректирующего импульса.

Задачей данного исследования является разработка и программная реализация стратегии удержания КА на гало-орбите и ее анализ. Полученная в результате исследования стратегия и ее программная реализация применимы для любых ограниченных орбит в окрестности точки L2 системы Солнце-Земля.

2 Математическая модель

Для описания движения КА по гало-орбите введем систему координат, связанную с точкой L2. Центр системы координат расположен в точке L2, ось X направлена вдоль прямой, соединяющей Солнце и Землю, от Солнца к Земле, ось Z направлена в северный полюс эклиптики, ось Y дополняет систему до правой тройки. В данной системе координат гало-орбитой является орбита, периоды обращения КА по которой по осям Z и Y совпадают.

В некоторой инерциальной системе координат уравнения движения КА могут быть представлены в виде:

где п - количество притягивающих центров, G - гравитационная постоянная, пц. - масса i-ro притягивающего центра, R - радиус вектор КА, Rj - радиус-вектора i-ro притягивающего центра.

В описанной выше системе координат при переходе к ограниченной задаче трех тел (п = 2) уравнения (1) преобразуются к виду [Gomez et al., 2002; Cobos et al., 2002; Ильин и др., 2012]:

iji - 2y - (2c2 + l)x =

У + 2k- (1 - c2)y = ay, (2)

где с2 - параметр, зависящии от масс тел, ах, ау, а^ - возмущающие ускорения, которые являются функциями координат КА и эксцентриситета орбиты.

Уравнения (2) можно линеаризовать в окрестности точки Ь2. Тогда они принимают следующий вид [НесЫег & а1., 2002, Ильин и др., 2012]:

(х 2у (1 2с2)х = 0, у + 2х - (1 - с2)у = 0, (3)

Система уравнений (3) имеет следующее решение:

х(г) = А1еЛ1: + А2е-М + Ахусоз(а»1 + ф^у)

¡уф ='к1А1е?Л- к2 А2 е

м - к2Аху нт(аЛ + «р^) (4)

ГДе А = 4-2-' « = 4-2-' У = к1 = <Р*У

- фаза колебаний в плоскости ХУ, фЕ - фаза колебаний по оси г. Коэффициенты Аь А2, Аху, Ах, и фазы ф

зависят от начальных условий.

Решения х(1) и у(1) являются линейной комбинацией трех компонент: ограниченной, экспоненциально возрастающей и экспоненциально убывающей. Далее будем предполагать, что решение системы (2) имеет схожую структуру, т.е. состоит из ограниченной, возрастающей и убывающей компонент:

[уСО = к1А1||лпс (0 + к1А2фйес (г) + к2Ахудрцт (г, фху) (5)

где А^Сй, А^-ДЛ) - возрастающие компоненты, А2^1асГг), А2фй&с(0 -убывающие компоненты, Аху\|1Н

Коэффициенты А1? А2 могут быть как положительными, так и отрицательными, поэтому далее по тексту под «возрастающей» компонентой будет подразумеваться возрастающая по модулю компонента, аналогично для «убывающей».

3 Алгоритм подбора начальной скорости и величины корректирующего импульса

Для длительного удержания КА на гало-орбите необходимо, чтобы коэффициент перед возрастающей компонентой равнялся нулю. В данном исследовании производилось численное интегрирование уравнений движения, поэтому подбор начальных условий, при которых коэффициент при возрастающей компоненте обращается в ноль, производился алгоритмически.

Кроме того, численное моделирование не может обеспечить бесконечной точности, поэтому для расчета номинальной гало-орбиты

необходимо совершать корректирующие импульсы. Подбор величин корректирующих импульсов также производился алгоритмически, а в основе методики подбора величины лежит та же идея.

Для моделирования движения КА по гало-орбите использовался пакет GMAT (General Mission Analysis Tool), позволяющий производить интегрирование уравнений движения КА в реальной модели сил с помощью различных численных методов. В GMAT был создан сценарий, в котором описываются начальные параметры КА, подбирается его начальная скорость, величины маневров, а также производится численное интегрирование уравнений движения. В данном исследовании использовался метод Рунге-Кутта 8-9 порядка.

3.1 Алгоритм подбора начальной скорости

Предположим, что КА в начальный момент времени находится в плоскости XZ (Y=0) и двигается ортогонально ей (Vx=Vz=0). Координаты X и Z обеспечивают гало-орбиту. Производится подбор скорости Vyo, обеспечивающей максимальное время нахождения КА на орбите. Подбор скорости осуществляется итерационно и останавливается, когда достигается наибольшая точность.

Из решения x(t) (4) видно, что если значение коэффициента возрастающей компоненты отрицательно, то аппарат отклоняется в сторону отрицательного направления оси, и наоборот. При подборе скорости Vyo данный факт был использован следующим образом. Введем в пространстве виртуальные плоскости Х=Хтах и Х=Хтш таким образом, чтобы гало-орбита заведомо лежала между ними. Затем проинтегрируем уравнения движения до пересечения с этими плоскостями. Т.о. получаем функцию конечной координаты X от начальной скорости Vy. Очевидно, данная функция терпит разрыв при Vy= Vyo. Поиск данного значения производится методом деления отрезка пополам. Иллюстрация метода представлена на рис. 1.

Моделирование движения космического аппарата

по гало-орбите вокруг точки L2 системы Солнце-Земля_

Рис. 1. Подбор начальной скорости КА

Используемый метод позволяет достичь любой точности, вплоть до машинной, которая составляет 10

16. Для гало-орбиты с начальными параметрами X - -277548 км, Y = 0 км, Z - 200000 км, Vx = Vz = 0 км/с найденная скорость Vyo составляет 0.372794445417389 км/с и обеспечивает нахождение аппарата на орбите на протяжении 700 суток (4 оборота).

3.2 Алгоритм подбора величины корректирующего импульса

Алгоритм подбора величины импульса коррекции в целом совпадает с алгоритмом подбора начальной скорости. Основным его отличием является то, что при подборе величины импульса учитывается его направление.

В начальный момент времени задано начальное значение импульса SK, а также направление маневра DirX и DirY (направляющие sin и cos орта вектора коррекции, положенного в плоскость XY). На текущем шаге происходит исполнение импульса, компоненты которого представлены как SK*DirX и SK*DirY. После этого производится интегрирование уравнений движения КА и изменение значения SK.

4 Зависимость затрат характеристического импульса от места и направления совершения маневра

Эффективность импульса коррекции зависит от места и направления его совершения. Введем следующие параметры (см. рис. 2):

■ Угол а - определяет место исполнения импульса;

■ Угол Р - определяет направления исполнения импульса.

Углу а = 01° соответствует наиболее удаленная от Земли точка орбиты, углам а = ±180® соответствует ближайшая к Земле точка орбиты. Увеличение угла происходит против часовой стрелки.

Важно отметить, что угол Р, по сути, задает ось, вдоль которой может совершаться импульс (как в положительном, так и в отрицательном направлении).

Импульс совершается один раз в оборот в точке, определенной углом

4.1 Нахождение наиболее эффективного места совершения маневра

Для нахождения наиболее эффективного места совершения маневра были исследованы 3 гало-орбиты со следующими начальными координатами: