Относительное движение – в движущихся осях уравнениями

Уравнений, определяющих переносное движение точки, не может быть вообще. Так как, по определению, переносное движение точки М – это движение относительно неподвижных осей той точки системы , с которой совпадает точка в данный момент. Но все точки подвижной сис­темы движутся по-разному.

Поло­жение подвижной системы отсчета может быть также определено, если задать положение точки О радиусом-вектором , проведенным из начала неподвижной системы отсчета, и направления единичных векторов подвижных осейОx, Oy, Oz.

Произвольное переносное движение подвижной системы отсчета слагается из поступательного движения со скоростью точки О и движения вокруг мгновенной оси вращения ОР, походящей через точку О, с мгновенной угловой скоростью . Вследствие переносного движения подвижной системы отсчета радиус-вектора и направления единичных векторов изменяются. Если векторы заданы в функции времени, то переносное движение подвижной системы отсчета вполне определено.

Положение точки М по отношению к подвижной системе отсчета можно определить радиусом-вектором

где координаты x, y, z точки М изменяются с течением времени вследствие движения точки М относительно подвижной системы отсчета. Если радиус-вектор задан в функции времени, то относительное движение точкиМ, т.е. движение этой точки относительно подвижной системы отсчета, задано.

Положение точки М относительно неподвижной системы отсчета , может быть определено радиусом-вектором . Из рис.49 видно, что

Если относительные координаты x,y,z точки М и векторы определены в функции времени, то слагающееся из относительного и переносного движений составное движение точкиМ, т.е. движение этой точки по отношению к неподвижной системе отсчета, также надо считать заданным.

Скорость составного движения точки М, или абсолютная скорость этой точки, равна, очевидно, производной от радиуса-вектора точкиM по времени t

Поэтому, дифференцируя равенство (1) по времени t, получим

Разобьем слагаемые в правой части этого равенства на две группы по следующему признаку. К первой группе отнесем те слагаемые, которые содержат производные только от относительных координат x,y,z, а ко второй - те слагаемые, которые содержат производные от векторов , т.е. от величин, изменяющихся только вследствие переносного движения подвижной системы отсчета

Каждая из групп слагаемых, обозначенных через и , представляет собой, по крайней мере, по размерности некоторую скорость. Выясним физический смысл скоростей и .

Скорость , как это следует из равенства (3), вычисляется в предположении, что изменяются только относительные координатыx,y,z точки М, но векторы остаются постоянными, т.е. подвижная система отсчетаOxyz как бы условно считается неподвижной. Итак, скорость представляет собой относительную скорость точки М.

Скорость вычисляется так, как будто бы точкаМ не двигалась относительно подвижной системы отсчета, так как производные x,y,z в равенство (4) не входят. Поэтому скорость представляет собой переносную скорость точкиМ.

Это равенство выражает теорему сложения скоростей в случае, когда переносное движение является произвольным: абсолютная скорость точки М равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей этой точки.

Пример 13. Колечко М движется по вращающемуся стержню так, что (см) и (рад).

Ранее было установлено, что тра­ектория относительного движения – прямая линия, сов­падающая со стерж­нем, и движение это определяется уравнением . Траектория пе­реносного движения точкиМ в мо­мент времени t – окружность радиуса .

Поэтому относительная ско­рость . И направлена по ка­сательной к траектории вдоль стержня (рис.50). Переносная скорость колечка, как при вращении вокруг оси, . Направлен вектор этой скорости по касательной к траектории переносного движения, перпендикулярно стержню.

Абсолютная скорость колечка . Величина ее, т.к.

Теорема сложения ускорений. Ускорение Кориолиса.

Ускорение составного движения точки М, или абсолютное ускорение этой точки, равно, очевидно, производной от абсолютной скорости точки М по времени t

Поэтому, дифференцируя равенство по времени, получим

Разделим слагаемые правой части этого равенства на три группы.

К первой группе отнесем слагаемые, содержащие только производные от относительных координат x,y и z, но не содержащие производные от векторов :

Ко второй группе отнесем слагаемые, которые содержат только производные от векторов , но не содержащие производных от относительных координатx,y,z:

Осталась еще одна группа слагаемых, которые не могли быть отнесены ни к первой, ни ко второй, так как они содержат производные от всех переменных x, y, z, . Обозначим эту группу слагаемых через :

Каждая из выделенных групп представляет собой, по крайней мере по размерности, некоторое ускорение. Выясним физический смысл всех трех ускорений: .

Ускорение , как это видно из равенства, вычисляется так, как если бы относительные координатыx,y,z изменялись с течением времени, а векторы оставались неизменными, т.е. подвижная система отсчета Oxyz как бы покоилась, а точка М двигалась. Поэтому ускорение представляет собой относительное ускорение точкиМ. Так как ускорение (и скорость) относительного движения вычисляется в предположении, что подвижная система отсчета находится а покое, то для определения относительного ускорения (и скорости) можно пользоваться всеми правилами, изложенными ранее в кинематике точки.

Ускорение , как это видно из равенства, вычисляется в предположении, что сама точкаМ покоится по отношению к подвижной системе отсчета Oxyz (x =const, y =const, z =const) и перемещается вместе с этой системой отсчета по отношению к неподвижной системе отсчета . Поэтому ускорение представляет собой переносное ускорение точкиМ.

Третья группа слагаемых определяет ускорение , которое не может быть отнесено не к относительному ускорению , так как содержит в своем выражении производные не к переносному ускорению , так как содержит в своем выражении производные

Преобразуем правую часть равенства, припомнив, что

Подставляя эти значения производных в равенства, получим

Здесь вектор есть относительная скорость точкиМ, поэтому

Ускорение называютускорением Кориолиса. Ввиду того, что ускорение Кориолиса появляется в случае вращения подвижной системы отсчета, его называют еще поворотным ускорением.

С физической точки зрения появление поворотного ускорения точки объясняется взаимным влиянием переносного и относительного движений.

Итак, ускорение Кориолиса точки равно по модулю и направлению удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения на относительную скорость точки.

Равенство, которое теперь можно сокращенно записать в виде

представляет теорему сложения ускорений в случае, когда переносное движение является произвольным: абсолютное ускорение точки равно векторной сумме переносного, относительного и поворотного ускоре­ний. Эту теорему часто называют теоремой Кориолиса.

Из формулы следует, что модуль поворотного ускорения будет

где - угол между вектором и вектором . Чтобы определить направление поворотного ускорения , нужно мысленно перенести вектор в точкуМ и руководствоваться правилом векторной алгебры. Согласно этому правилу, вектор нужно направлять перпендикуляр­но к плоскости, определяемой векторами и , и так, чтобы, смотря с конца вектора , наблюдатель мог видеть кратчайший поворот от к происходящим против движения часовой стрелки (рис. 30).

Для определения направления можно также пользоваться следующим правилом Н. Е. Жу­ковского: чтобы получить направление поворот­ного ускорения , достаточно составляющую относительной скорости точки М, перпенди­кулярную к вектору , повернуть (в плоскости, перпендикулярной к вектору ) на прямой угол вокруг точкиМ в направлении переносного вра­щения (рис.51).

Если переносное движение подвижной систе­мы отсчета есть поступательное движение, то и поэтому поворотное ускорение точки также равно нулю. Поворотное ускорение равно, очевидно, нулю и в том случае, когда в данный момент времени обращается в нуль.

Кроме того, поворотное ускорение точки может, очевидно, обращать­ся в нуль, если:

а) вектор относительной скорости точки параллелен вектору уг­ловой скорости переносного вращения, т.е. относительное движение точки происходит по направлению, параллельному оси переносного вращения;

б) точка не имеет движения относительно подвижной системы от­счета или относительная скорость точки в данный момент времени равна нулю ( ).

Пример 14. Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси z. По поверхности его движется точка М (рис. 52). Конечно, скорость этого движения точки – относительная скорость , а скорость вращения тела – угловая скорость переносного движения .

Ускорение Кориолиса , направлено перпен­дикулярно этим двум векторам, по правилу направления вектора век­торного произведения. Так, как пока­зано на рис. 52.

Нетрудно сформулировать более удобное правило определения направ­ления вектора : нужно спроектировать вектор относитель­ной ско­рости на плоскость перпендикуляр­ную оси переносного вращения и за­тем повер­нуть эту проекцию на 90 градусов в плоскости по направлению переносного вращения. Конечное положение проекции вектора укажет направление кориолисова ускорения. (Это правило было предложено Н.Е. Жуковским).

Пример 15. (Вернемся к примеру 13). Найдем абсолютное ускорение колечка М:

Переносное ускорение при движении колечка по окружности радиусом : , где .

Вектор направлен перпендикулярно стержню в сторону вращения (по правилу Жуковского).

еличину абсолютного ускорения колечка М найдем с помощью проекций на подвижные оси и проектируя равенство (6) на оси, получим:

Сложное движение твердого тела.

Так же как при сложном движении точки нередко и движение тела можно рассматривать как сумму нескольких движений. Например, со­стоящее из двух поступательных движений или поступательного движения и вращения в округ оси. Часто встречаются движения, состоящие из двух вращений вокруг осей или поступательного движения и вращения вокруг точки. Исследование движения точек принадлежащих телу, совершаю­щему сложное движение, можно проводить методами, изложенными выше и никаких особых трудностей не вызывает. Но анализ сложного движения тела, состоящего из нескольких вращений, обнаруживает неко­торые особенности, которые следует рассмотреть специально.