Владимир Лёвшин: Три дня в Карликании

Для того, чтобы ребёнок понимал и решал предложенные в книге задачи, необходимо, чтобы он уже был знаком с дробями. Поскольку обыкновенные дроби введены в школьную программу в 4-м классе, можно смело рекомендовать эту книгу четвероклассникам, пятиклассникам и детям среднего школьного возраста.

Подробно рассмотрим четыре задачи , предложенные в книге и поднятые т емы.

Задача 1: Яблоки

"На трех тарелках лежат яблоки. На первой тарелке лежит половина всех яблок. Когда с этой тарелки взяли половину того, что лежало на второй тарелке, а затем половину того, что было на третьей, на первой тарелке осталось всего два яблока. Спрашивается, сколько яблок лежало вначале на каждой тарелке?"

В книге малыши отчаялись решать эту задачу: "Малыши сосредоточенно засопели, водя палочками по песку, некоторые от усердия даже высунули языки. Скоро, однако, настроение у них явно испортилось. Многие даже заплакали."

Задача 1 . Пете и Васе дали три яблока. Как разделить эти яблоки между детьми?

Решение: ребёнок может решить двумя способами - 1) одно яблоко разделить пополам, тогда у Пети и у Васи будет по одному целому яблоку и по одной половинке; б) каждое яблоко разделить пополам, тогда у каждого мальчика будет по 3 половинки яблока.

Задача 2 . Пете и Васе дали одно яблоко и одну грушу. Как разделить фрукты между детьми?

Решение: необходимо разрезать яблоко и грушу пополам, и у каждого мальчика будет по половине яблока и груши.

Задача 3 . Пете и Васе дали три яблока. Как разделить эти яблоки между детьми поровну так, чтобы у каждого было ровно половина фркуторв?

Решение: кажется, что задача полностью повторяет задачу под номером 1. Однако, в первой задаче условие допускало любое деление фруктов, в этой же задаче мальчики обязаны получить ровно половину всех яблок. Наводящий вопрос ребёнку: что делать, если эти яблоки разного размера и цвета? В этом случае решени только одно: каждое яблоко следует разрезать пополам. Т.о. у каждого мальчика будут три половинки и яблоки будут поделены между ними поровну.

Задача 4 . На двух чашах весов лежат три яблока. Весы в равновестии. На первой чаше весов лежит первое яблоко, которое весит столько же, сколько второе и третье, вместе взятые, лежащие на другой чаше весов. От второго и третьего яблока отрезали по половине и съели. Сколько нужно отрезать от первого яблока, чтобы весы снова были в равновесии?

Решение: Наводящий вопрос: что значит, что весы были в равновесии? Ребёнок должен догадаться, что задача решается не с яблоками, а с весом.

Помогите ребёнку нарисовать иллюстрацию к задаче - три тарелки. " На т рех тарелках лежат яблоки "

" На первой тарелке лежит половина всех яблок ". На первой - половина всех яблок. Значит, на второй и третьей - вторая половина всех яблок.

" Когда с этой тарелки взяли по ловину того, что лежало на второй тарелке ". Делим содержимое второй тарелки пополам.

" а затем половину того, что было на третьей ". Делим содержимое третьей тарелки пополам.

Мы уже знаем, что содержимое второй и третьей тарелки равно содержимому первой тарелки. Значит, если мы берем половину содержимого на второй и третьей тарелках вместе - значит, мы взяли половину содержимого первой тарелки.

" на первой тарелке осталось всего два яблока ". Мы взяли половину с первой тарелки и у нас осталось 2 яблока (2 яблока - 1/2 от всех яблок, лежащи на первой тарелке). Значит, на целой тарелке 4 яблока.

" Спрашивается, сколько яблок лежало вначале на каждой тарелке? " 4 яблока - это половина всех яблок на тарелках. Значит, на второй и третьей тарелках лежат 4 яблока. Решение в целых числах: на второй и третьей тарелках по 2 яблока.

Задача 2: "Наиболее общий признак деления на 11?"

"Пусть многозначное число N имеет цифру единиц а, цифру десятков b, цифру сотен с, цифру тысяч d и т. д., т. е.N = а + 10b + 100с + 1000d + . = a + 10 (b + 10c + 100d + . ),где многоточие означает сумму дальнейших разрядов. Вычтем из N число 11(b + 10с + 100d + . ), кратное одиннадцати. Тогда полученная разность, равная, как легко видеть,а - b - 10(c + 10d + . ),будет иметь тот же остаток от деления на 11, что и число N. Прибавив к этой разности число ll(c + 10d + . ), кратное одиннадцати, мы получим числоa - b + c + 10(d + . ),также имеющее тот же остаток от деления на 11, что и число N. Вычтем из него число 11(d + . ), кратное одиннадцати, и т. д. В результате мы получим числоa - b + c - d + . = (а + с + . ) - (b + d + . ),имеющее тот же остаток от деления на 11, что и исходное число N.

Отсюда вытекает следующий признак делимости на 11 : надо из суммы всех цифр, стоящих на нечетных местах, вычесть сумму всех цифр, занимающих четные места; если в разности получится 0 либо число (положительное или отрицательное), кратное 11, то и испытуемое число кратно 11; в противном случае наше число не делится без остатка на 11.

Испытаем, например, число 87635064: 8 + 6 + 5 + 6 = 25, 7 + 3 + 0 + 4 = 14, 25 - 14 = 11. Значит, данное число делится на 11.

Существует и другой признак делимости на 11 , удобный для не очень длинных чисел. Он состоит в том, что испытуемое число разбивают справа налево на грани по две цифры в каждой и складывают эти грани. Если полученная сумма делится без остатка на 11, то и испытуемое число кратно 11, в противном случае - нет. Например, пусть требуется испытать число 528. Разбиваем число на грани (5/28) и складываем обе грани: 5 + 28 = 33. Так как 33 делится без остатка на 11, то и число 528 кратно 11:528 : 11 = 48.

Докажем этот признак делимости. Разобьем многозначное число N на грани. Тогда мы получим двузначные (или однозначные*) числа, которые обозначим (справа налево) через а, b, с и т. д., так что число N можно будет записать в виде N = a + 100b + 10000с + . = a + 100(b + 100с + . ). * (Если число N имело нечетное число цифр, то последняя (самая левая) грань будет однозначной. Кроме того, грань вида 03 также следует рассматривать как однозначное число 3.) Вычтем из N число 99(b + 100с + . ), кратное одиннадцати. Полученное числоа + (b + 100с + . ) = a + b + 100(с + . )будет иметь тот же остаток от деления на 11, что и число N. Из этого числа вычтем число 99(с + . ), кратное одиннадцати, и т. д. В результате мы найдем, что число N имеет тот же остаток от деления на 11, что и числоа + b + с + . "

Источник: Я.И.Перельман "Занимательная алгебра", http://mathemlib.ru/books/item/f00/s00/z0000003/st051.shtml

Т.о., кроме описанного в книге "Три дня в Карликании", существуют ещё два признака делимости на 11.

Признак 2: Число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры, начиная с единиц (пример: 1|23|45|67|89).Например, 10|37|85 делится на 11, так как на 11 делятся 10+37+85=132 и 01+32=33.

Признак 3: Число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится знакочередующаяся сумма чисел, образующих группы по три цифры, начиная с единиц (пример: 1|234|567|890).Например, 1|002|001 делится на 11, так как 1 − 2 + 1 = 0 — делится на 11.