9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов.
Повторение определения синуса и косинуса для угла от 0 до 180
площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.
2. Теорема синусов и следствие из неё:
сторона а относится к синусу противолежащего угла α так же, как сторона b относится к синусу противолежащего угла β так же, как сторона с относится к синусу своего противолежащего угла γ. Все эти отношения равны 2R, где R – это радиус описанной окружности.
Чтобы найти радиус, достаточно знать сторону и синус противолежащего угла.
квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
В основных теоремах фигурирует синус и косинус угла треугольника. Но угол треугольника может быть тупым. Поэтому вспомним определение синуса и косинуса для угла .
На рисунке 2 изображена полуокружность радиусом 1, угол α острый, точка М соответствует этому углу. У точки М есть две координаты ( ).
На рисунке 3 угол α тупой. У точки М есть две координаты ( ).
Следовательно, , т. е. абсцисса точки, а , то есть ордината точки. Таким образом, мы распространили синус и косинус угла от 0 до 180 градусов.
Задача 1- решение треугольника с помощью теоремы синусов
Дано: в треугольнике АВС сторона АВ=8см, угол А= , угол В= (рис. 4).
Найти: сторону АС и ВС, угол С, то есть решить треугольник.
Решение:
Так как сумма углов треугольника равна , угол С равен минус 2 известных угла:
Все углы известны.
, где 8 – длина стороны АВ, то есть стороны с.
Сторона ВС 4 см
Сторона АС 6 см
Ответ: угол С=105 , сторона ВС 4 см, сторона АС 6 см.
Задача 2 - нахождение диагоналей параллелограмма с помощью теоремы косинусов
Дано: смежные стороны параллелограмма равны а и b, один из углов равен γ (рис. 5).
Решение:
Решение данной задачи для параллелограмма полностью основано на теореме косинусов для треугольника. Диагональ BD входит в треугольник АВD. В этом треугольнике известны две стороны и угол между ними. Следовательно:
Вторая диагональ АС входит в треугольник АСD. Используем свойство параллелограмма. Противоположные стороны параллелограмма равны. AB=CD=b. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180º. Cледовательно, ∠ADC=180 .
Задача 3 – доказательство метрического свойства для параллелограмма с помощью теоремы косинусов
Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
Доказать:
Найдём из треугольника ABD, то есть выпишем для этого треугольника теорему косинусов. найдём из треугольника ADC, также выписав для него теорему косинусов.
Из предыдущей задачи мы увидели, что свойство треугольника позволяет решать задачи для параллелограмма и даже устанавливает свойство параллелограмма. Это свойство параллелограмма позволяет решать задачи для треугольника.
Задача 4 – нахождение медианы треугольника с помощью свойства параллелограмма
Найти: Медиану А = треугольника АВС.
Решение:
Ответ:
Задача 5 с использованием теоремы о площади треугольника
Дано: треугольник АВС, – середины сторон (рис. 8)
Доказать: 1. ,
1. Рассмотрим треугольники (рис. 9). Каждый из них имеет сторону и одинаковую высоту h. Следовательно, площадь каждого:
площадь треугольника АВС, поэтому площади треугольников равны
2. Рассмотрим треугольник : угол γ – угол между сторонами , где .
Подведение итогов
На данном уроке мы повторили теорию по теме соотношение сторон и углов в треугольнике и решили типовые задачи по данной теме.