Разбор заданий резервного дня сдачи ЕГЭ по математике от 28 июня 2017
14.1. В треугольной пирамиде с основанием известно, что . Основанием высоты этой пирамиды является точка . Прямые и перпендикулярны.
а) Докажите, что треугольник прямоугольный.
б) Найдите объем пирамиды .
а) Проекция наклонной на плоскость основания – это Раз по условию наклонная перпендикулярна прямой плоскости то и ее проекция перпендикулярна по теореме о трех перпендикулярах.
Итак, треугольник – прямоугольный ( .)
б) Из треугольника по теореме косинусов:
Для по теореме Пифагора:
Ответ: б)
15.1. Решить неравенство
Ответ:
15.2. Решите неравенство
Ответ:
16.1. Окружность, вписанная в трапецию , касается ее боковых сторон и в точках и соответственно. Известно, что и
б) Найдите длину отрезка , если радиус окружности равен .
a) Пусть – точка касания вписанной в трапецию окружности со стороной – точка касания окружности со стороной
Пусть тогда пусть тогда
По свойству отрезков касательных
Из треугольника из треугольника
Стало быть, что означает, что
Что и требовалось доказать.
б) Пусть – точка пересечения лучей
По теореме Косинусов для треугольника
По теореме Косинусов для треугольника
При этом (замечая, что высота трапеции – два радиуса вписанной окружности) из треугольника по теореме Пифагора откуда
Ответ:
16.2. В трапецию с основаниями и вписана окружность с центром .
б) Найдите площадь трапеции, если , а основания равны и .
a) Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис углов трапеции. А как известно, биссектрисы соседних углов при основаниях трапеции пересекаются под прямым углом. Действительно, так как сумма углов и равна то сумма половин углов и равна ( ), то есть Аналогично,
Но тогда и углы в сумме дают а значит
Что и требовалось доказать.
б) Так как трапеция – описанная, то Пусть тогда
Пусть – высота трапеции. Тогда
Заметим также, что
По теореме Пифагора для треугольника
Ответ: б)
17.1. Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно часов в неделю, то за эту неделю они производят единиц товара.
За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — рублей.
Вадим готов выделять рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
Пусть на первом заводе рабочие трудятся суммарно часов в неделю, на втором заводе – часов. Тогда произведено будет за неделю единиц товара.
Вадим должен заплатить рублей, значит
Необходимо, чтобы сумма была бы наибольшей.
Исследуем функцию на наибольшее значение на Это наибольшее значение функции и будет отвечать за наибольшее количество единиц товара, которое можно произвести за неделю на двух заводах.
Так как то есть – максимальное значение среди значений функции на концах отрезка и в точке экстремума, то – и есть наибольшее значение функции на
Ответ:
18.1. Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень на отрезке .
Работаем в системе координат .
Становится видно, что исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке при
Ответ:
18.2. Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Ровно два различных решения исходная система будет иметь при < >.
Ответ: < >.
19.1. С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа получается число ).
а) Приведите пример числа, из которого получается .
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число ?
в) Какое наибольшее число, кратное , может получиться из трехзначного числа?
а) Число могло быть получено из числа указанным способом.
б) Число не могло получится из какого-либо числа указанным способом, так как иначе бы это означало, что
в) Пусть имеется трехзначное число Поскольку нам интересно получение наибольшего нового числа, то между каждыми соседними цифрами потребуем, чтобы приписывалось двузначное число.
Тогда новое число будет семизначным:
Так как число делится на , если знакочередующаяся сумма его цифр делится на , то необходимо, чтобы сумма
Пусть (при иных значениях искомое число будет меньше) тогда Значение можно брать любое, – берем
Итак, взяв число получим в итоге число кратное
Ответ: а) ; б) нет; в)
19.2. Последовательность состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме -го. Известно, что
а) Приведите пример такой последовательности, для которой
б) Существует ли такая последовательность, для которой ?
в) Найдите наименьшее возможное значение
а) Пусть
Согласно условию Откуда
Поскольку при этом то
Пусть, например, тогда
Последовательность отвечает требованиям задачи.
б) Имеем:
Тогда что противоречит условию (ведь последовательность состоит из однозначных чисел).
Не существует такой последовательность, для которой .
в) Поскольку то, используя , получаем:
Попробуем подобрать необходимые числа так, чтобы
Пусть тогда На роль можно взять, например,
Итак, наименьшее возможное значение – это , то есть
Ответ: а) ; б) нет; в)