Элементы аналитической геометрии Контрольная работа

1 Элементы аналитической геометрии Контрольная работа Задача. Дан треугольник ABC с вершинами A(m ; n ), B(m; -n) и C(-m; n). Найти: a) величину угла A; b) координаты точек пересечения меридиан; c) координаты точек пересечения высот; d) длину высоты, опущенной от вершины A; e) площадь треугольника ABC; f) систему неравенств, задающих внутренность треугольника ABC, и сделать чертеж. Решение. Получаем координаты точек: A (;), B(; ) и C( ;). Найдем уравнения сторон треугольника ABC и их угловые коэффициенты. Уравнение стороны AB : A A, B A B A,, 7 7, 7, угловой коэффициент k AB 7. Уравнение стороны AC : A A, C A C A,, 7 7, 7,, угловой коэффициент k AC Уравнение стороны BC : B B, C B C B,

2 , 6 6,, угловой коэффициент k. BC А) Найдем величину угла A по формуле: kab kac 7 / 7 tg A, откуда k k 7 / 7 7 AB AC A arctg, 7 рад. 7, 7 7 Б) Найдем координаты точки пересечения меридиан. Найдем середину стороны AC, точку M : A C A C 7 M, M. Получаем M (,5;,5). Рассмотрим медиану BM. Известно, что точка пересечения медиан делит медиану в отношении :, считая от вершины, то есть для точки пересечения K верно: BK : KM : λ, поэтому координаты точки K B λm B λ M 7 K, K. λ λ Точка пересечения медиан K ;. В) Найдем координаты точки пересечения высот. Для этого найдем уравнения двух высот Высота A, проведенная к стороне BC : A ( A ), kbc ( ), Высота BE, проведенная к стороне AC : B ( B ), kac 7( ), 7, 7. Найдем точку пересечения высот, решая систему: 7. Получаем: 9, 9.

3 Точка пересечения высот N 9 9 ; Г) Найдем длину высоты, опущенной от вершины A. Это есть расстояние от вершины A до прямой BC :, то есть A A d. ( ) Д) Найдем площадь треугольника ABC по формуле S, где A B C. A B C Таким образом, площадь S. Найдем систему неравенств, задающих внутренность треугольника ABC, Теперь подставляем в уравнение прямых точки (вершины треугольника), чтобы выделить ту полуплоскость, в которой лежит треугольник: Сторона AB 7, подставляем точку C( ;) : > Сторона BC, подставляем точку A (; ) : > Сторона AC 7, подставляем точку B(; ) : ---< Получаем систему: 7 >, >, 7 <. Сделаем чертеж.

5 Задача. Даны координаты вершин пирамиды. Найти: ) длину ребер A A и A ; ) угол между ребрами A A и A ; ) площадь грани A A ; ) объем пирамиды; 5) уравнения прямой A A ; 6) уравнение плоскости A A ; 7) угол между ребром A A и гранью A A ; ) уравнения высоты, опущенной из вершины A на грань A A. Координаты вершин приведены в таблице. Координаты точки A A A A С (6; 6; 5) (; 9; 5) (; 6; ) (6; 9; ) Решение. ) Длины ребер A A и A A A ( 6;9 6;5 5) ( ;;) A A ( 6;6 6; 5) ( ;;6) A A A A ( ) 9 A A ( ) 6 6 ) Угол между ребрами A A и A. cosα α A A A A A A arccos A A arccos 5 ( ) 9 5 arccos, ) Площадь грани A A. A A A A i j k i 6 6 j k 6 i j 6k A A A S A A A 6 (ед ) ) Объем пирамиды. A A (6 6;9 6; 5) (;; ) 5

6 ( A A, A, A A ) V ( A A, A, A A ) (ед ) 6 6 5) Уравнение прямой A A : 6 6 z z 5 6 ( ) ( ) 6) Уравнение плоскости A A : 6 6 z z 5 ( 6) ( 6) ( z 5) ( 6) ( 6) ( ) ( z 5) 6 7 6z 6z (9 6 z 5) Уравнение плоскости: 9 6 z 5 7) Угол между ребром A A и гранью A A : sinϕ A A A A ( A A A ) A A A A 6 ( ) ,97 ϕ 7 ) Уравнение высоты, опущенной из вершины A на грань A A. Уравнение грани A A : 9 6 z

7 Ее нормальный вектор n (9; 6; ) примем за направляющий вектор высоты пирамиды. А (; 6; ) Уравнение высоты: 6 z 9 6 7

8 Задача. Точки A, B, C, A являются вершинами параллелепипеда ABCA B C Найти Координаты вершины Площадь грани ABC Уравнение грани ABC Объем параллелепипеда ABC A B C Уравнение ребра A A Угол образованный ребром A A с ребром AB Угол образованный ребром A A с плоскостью основания ABC Сделать точный рисунок в системе координат. A(7,6,-),B(,,-),C(,,-), A (,,-) Решение. ) Так как ABCA B C - параллелепипед, то BC A. Найдем координаты этих векторов и приравняем. BC < ; ; >< ; ; >. Пусть координаты точки (,, z ). A < 7; 6; z >. Получаем: < 7; 6; z >< ; ; >, z 7, 5; 6, ;, z. Координаты вершины (5,, ) ) Найдем координаты векторов: AB < 7; 6; >< ; ;>, A < 5 7; 6; >< ; ; >, AA ' < 7; 6; >< 7; ; 7>. Вычислим векторное произведение: i j k AB A i j k Найдем площадь грани ABC по формуле: SABC AB A ( ) 6 6. i j k . В качестве нормали к грани ABC можно выбрать вектор Уравнение плоскости примет вид: ( ) ( ) 6( z z ), A A A ( 7) ( 6) 6( z ), n AB A .

9 7 6z 6, 6z. Найдем объем параллелепипеда ABCA B C. Для этого вычислим смешанное произведение: AB A AA' ( ) ( 7) 96. Тогда объем параллелепипеда равен: V ' ' ' ' AB A AA'. ABCA B C Уравнение ребра AA ' имеет вид 7 6 z 7 6 z или Найдем угол α, образованный ребром AA ' с ребром AB по формуле: AB AA' ( 7) ( ) ( 7) 6 cosα, откуда AB AA' α arccos, 77 рад. 5 Найдем угол β, образованный ребром AA ' с плоскостью основания ABC AA' n 7 ( ) sin β AA' n откуда β arcsin, 6 рад 7. Сделаем точный рисунок в системе координат. Для этого вычислим координаты недостающих вершин: ' AA' < 7; ; 7>(5;; ) ( ; ; 9) C ' AA' C < 7; ; 7>(;; ) ( 6; ; 9) B ' AA' B < 7; ; 7>(;; ) ( ;; ) 9

11 Задача. Линия задана уравнением r r(ϕ ) в полярной системе координат. Требуется:. построить линию по точкам от ϕ до ϕ π, придавая ϕ значения через промежуток π ;. найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной осью;. по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия. Уравнение r r(ϕ ) приведено в таблице. С r cosϕ Таблица Решение.. Построим таблицу значений функции. ϕ cos ϕ r cosϕ π,9, π,7,7 π,,5 π 5π,, π,7 6, 7π,9 6,7 π Не сущ. 9π,9 6,7 5π,7 6, π,, π π,,5

12 7π,7,7 5π,9, π Построим график функции по точкам.. Найдем уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной осью. r cosϕ r sinϕ r cosϕ r Подставим значения.

13 cosϕ r ( ) или при ) ( ) (. По уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определим, какая это линия. Получили уравнение параболы p р Вершина параболы смещена на единицу вправо по оси Ох.