Планы уроков и методические комментарии к обучению задач на построение треугольника по трём элементам
В 7 классе в теме: "Соотношения между сторонами и углами треугольника" рассматриваются построения треугольников по трем заданным элементам с помощью циркуля и линейки.
Решаются следующие задачи:
1. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
2. Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.
3. Построение треугольника по трём сторонам.
Для успешного решения данных задач необходимо повторить: откладывание на прямой отрезка данной длины; построение угла, равного данному; признаки равенства треугольников; неравенство треугольника.
Повторение можно организовать в форме практической работы и фронтального опроса.
В результате изучения темы ученики должны научиться строить треугольники по трём данным элементам с помощью циркуля и линейки.
На изучение данной темы отводится 3 часа.
На первом уроке предлагается рассмотреть задачи: построение треугольника по двум сторонам и углу между ними; построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам. Второй урок посвящён построению треугольника по трём сторонам. Третий урок - решение задач, отрабатывающих умения и навыки построения треугольников по трём элементам циркулем и линейкой.
Тема: Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам
обучающая: познакомить учащихся с алгоритмом построения треугольника по двум сторонам и углу между ними; по стороне и двум прилежащим к ней углам; формирование умений и навыков по применению данного алгоритма к решению задач;
развивающая: развитие математического мышления, творчества, внимания;
воспитательная: воспитание трудолюбия и аккуратности.
1. Актуализация базовых знаний (5мин)
Необходимо повторить: откладывание на прямой отрезка данной длины, построение угла, равного данному, признаки равенства треугольников.
Организовать повторение можно в форме практической работы, с комментариями учащихся:
1. Дан произвольный отрезок. На прямой а от заданной точки отложить отрезок, равный данному.
2. Дан произвольный угол. Построить с помощью циркуля и линейки угол, равный данному.
2. Изучение нового материала (15мин)
Объяснение нового материала проводит сам учитель.
Задача. Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.
Решение. Прежде всего уточним, как можно понимать эту задачу, т.е. что здесь дано и что нужно построить.
Даны отрезки РQ, РQ и угол hk (рис.11, а).
Требуется с помощью циркуля и линейки (без масштабных делений) построить такой треугольник АВС, у которого две стороны, скажем АВ и АС, равны данным отрезкам РQ и РQ, а угол А между этими сторонами равен данному углу hk.
Проведем прямую а и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку РQ (рис.11, б). Затем построим угол ВАМ, равный данному углу hk. На луче АМ отложим отрезок АС, равный отрезку РQ, и проведем отрезок ВС. Треугольник АВС - искомый.
В самом деле, по построению АВ= РQ, АС= РQ, А=hk. описанный ход построения показывает, что при любых данных отрезках РQ, РQ и неразвернутом угле hk искомый треугольник построить можно. Так как прямую а и точку А на ней можно выбрать произвольно, то существует бесконечно много треугольников удовлетворяющих условиям задачи. Все эти треугольники равны друг другу (по первому признаку равенства треугольников), поэтому принято говорить, что данная задача имеет единственное решение.
Задача. Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Решение. Дан отрезок КМ и углы mp и rs (рис.12, а). Требуется с помощью циркуля и линейки построить такой треугольник АВС, у которого сторона АВ, равна отрезку КМ, а углы А и В равны соответственно углам mp и rs.
Проведем прямую а и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку КМ (рис.12, б). Затем построим угол ВАN, равный данному углу mp. Построим угол АВН равный углу rs. Обозначим точку пересечения АN и BH как С. Треугольник АВС - искомый.
В самом деле, по построению КМ=АВ, ВАN=mp, АВН=rs.
Описанный ход построения показывает, что при любом данном отрезке КМ и условии mp+rs<180є данный треугольник построить можно. Так как прямую а и точку А на ней можно выбрать произвольно, то существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условиям задачи. Все эти треугольники раны друг другу (по второму признаку равенства треугольников), поэтому принято говорить, что данная задача имеет единственное решение.
Учитель проводит анализ данных задач используя решение приведенное в учебнике, а учащиеся у доски выполняют построение и доказательство.
3. Закрепление (15 мин)
Учащиеся у доски решают №287, №290 (а) (см. приложение 1).
4. Подведение итога (3мин)
Объясните, как построить треугольник: а) по двум сторонам и углу между ними; б) по стороне и двум прилежащим к ней углам.
5. На дом (2мин): №290 (б), №291 (а) (см. приложение 1).
Тема: Построение треугольника по трем сторонам
Цели: обучающая: познакомить учащихся с алгоритмом построения треугольника по трем сторонам; отработка умений и навыков применения данного алгоритма при решении задач; развивающая: развитие гибкости математического мышления, творчества, внимательности; воспитательная: воспитание трудолюбия и аккуратности.
1. Активизация необходимых теоретических понятий (10мин)
Повторяем неравенство треугольника. Учитель предлагает ответить на вопрос: существует ли треугольник со сторонами: а) 1м, 2м, 3м; б) 1,2 см, 1см, 2,4см; в) 5дм, 3дм, 7дм; г) 12,1см, 8см, 5,6см? Ответ обосновать.
2. Изучение нового материала (10мин)
Учитель проводит анализ задачи, а построение и доказательство выполняют учащиеся у доски с использованием таблицы №5 приложения 4.
Задача. Построить треугольник по трем сторонам.
Решение. Пусть даны отрезки РQ, РQ и PQ (рис.13, а). Требуется построить треугольник АВС, в котором АВ= РQ, ВС= РQ, СА=PQ.
Проведем прямую и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку РQ (рис.13, б).
Затем построим две окружности: одну - с центром А и радиусом PQ, а другую - с центром В и радиусом PQ. Пусть точка С - одна из точек пересечения двух окружностей. Проведя отрезки АС и ВС, получим искомый треугольник АВС.
В самом деле, по построению АВ=PQ, ВС= РQ, СА= PQ, т.е. стороны треугольника АВС равны данным отрезкам.
Задача 3 не всегда имеет решение. Действительно, во всяком треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны, поэтому если какой-нибудь из данных отрезков больше или равен сумме двух других, то нельзя построить треугольник, стороны которого равнялись бы данным отрезкам.
3. Закрепление (15 мин)
Учащиеся у доски решают №292, 294 (см. приложение 1).
4. Подведение итога (3мин)
1. Объясните, как построить треугольник по трём сторонам.
2. Всегда ли эта задача имеет решение?
5. На дом (2мин): № 295 (см. приложение 1).
Тема: Решение задач на построение треугольника по трем элементам
обучающая: отработка умений и навыков решать задачи на построение треугольников по трем элементам;
развивающая: развитие гибкости математического мышления, творчества, внимательности;
воспитательная: воспитание трудолюбия и аккуратности;
Решение задач выполняют учащиеся с помощью учителя.
Задача. Построить прямоугольный треугольник по катету и прилежащему углу.
1. При решении этой задачи учитель, в форме эвристической беседы, проводит ее анализ. Анализ можно провести устно, изобразив чертеж-набросок на доске. Затем ученик решает задачу у доски.
1. На прямой отметим точку С (рис.14) и отложим отрезок СВ=а.
3. Построим прямую, проходящую через точку С перпендикулярно СВ.
4. Сторона угла и прямая перпендикулярная СВ пересекаются в точке А.
3. Доказательство. В треугольнике АВС АС перпендикулярна СВ, СВ=а, СВА= (по построению).
Задача. По катету и противолежащему углу построить треугольник.
Решение этой задачи сводится к решению предыдущей задачи, для этого ученики должны научиться строить угол равный 90є - . Учитель ставит перед учащимися проблему: как построить угол 90є-, если задан.
1. Построим две перпендикулярные прямые АВ и СD (рис.15). Обозначим точку пересечения прямых точкой О.
2. Построим угол ВОК = .
3. Тогда угол КОС= (90є - )
Решение задачи учащиеся должны осуществить самостоятельно.
Задача. Построить треугольник по стороне, противолежащему углу и высоте, проведенной на одну из двух сторон треугольника.
Решение. Анализ данной задачи учитель проводит вместе с учениками. Построение и доказательство ученики выполняют самостоятельно.
1. Выполним чертеж - набросок (рис.16)
2. Рассмотрим треугольник АВD его мы можем построить по катету и противоположному углу (ВDА=90є, ВАD=, ВD= h).
3. Построив треугольник АВD мы легко можем его достроить до треугольника АВС, построив ВС=а.