График производной функции. Промежутки монотонности функции

1 График производной функции Промежутки монотонности функции Пример 1. На рисунке изображен график y =f (x) производной функции f (x), определенной на интервале (1;13). Найдите промежутки возрастания функции f (x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. 1. На рисунке изображен график y =f (x) производной функции f (x), определенной на интервале (-11;3). Найдите промежутки возрастания функции f (x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

2 2. На рисунке изображен график y =f (x) производной функции f (x), определенной на интервале (-2;12). Найдите промежутки убывания функции f (x). В ответе укажите длину наибольшего из них. 3. На рисунке изображен график y =f (x) производной функции f (x), определенной на интервале (-7;4). Найдите промежутки возрастания функции f (x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. 4. На рисунке изображен график y =f (x) производной функции f (x), определенной на интервале (-5;7). Найдите промежутки убывания функции f (x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

3 5. На рисунке изображён график y =f (x) производной функции f (x) и восемь точек на оси абсцисс: x 1, x 2, x 3. x 8. В скольких из этих точек функция f (x) возрастает? 6. На рисунке изображён график y =f (x) производной функции f (x) и восемь точек на оси абсцисс: x 1, x 2, x 3. x 8. В скольких из этих точек функция f (x) убывает?

4 Точки экстремума функции Пример 2. На рисунке изображен график y =f (x) производной функции f (x), определенной на интервале (-13;8). Найдите количество точек максимума функции f (x), принадлежащих отрезку [-8;6]. Ответ: 2 7. На рисунке изображен график y =f (x) производной функции f (x), определенной на интервале (-11;11). Найдите количество точек экстремума функции f (x), принадлежащих отрезку [-10;10].

5 8. На рисунке изображен график y =f (x) производной функции f (x), определенной на интервале (-4;8). Найдите точку экстремума функции f (x) на отрезке [-2;6]. 9. На рисунке изображен график y =f (x) производной функции f (x), определенной на интервале (-7;14). Найдите количество точек максимума функции f (x) на отрезке [-6;9]. 10. На рисунке изображен график y =f (x) производной функции f (x), определенной на интервале (-18;6). Найдите количество точек минимума функции f (x) на отрезке [-13;1]

6 Наибольшее и наименьшее значения функции Пример 3. На рисунке изображен график производной функции f (x), определенной на интервале (-2;9). В какой точке отрезка [3;8] функция f (x) принимает наименьшее значение? Решение. Как видно из рисунка, на данном отрезке производная функции положительна, следовательно, функция f (x) возрастает на этом отрезке. Отсюда получаем, что функция f (x) принимает наименьшее значение в левой точке отрезка [3;8], то есть в точке 3. Ответ: 3. Пример 4. На рисунке изображен график y =f (x) производной функции f (x), определенной на интервале (-8;3). В какой точке отрезка [ - 6;1] функция f (x) принимает наибольшее значение.

7 Решение. На отрезке 6;1] производная один раз обращается в нуль в точке 3 и при переходе через эту точку слева направо меняет знак с «+» на. Следовательно, на данном отрезке функция f (x) имеет единственный экстремум (максимум) и принимает наибольшее значение на данном отрезке в точке 3. Ответ: На рисунке изображен график y =f (x) производной функции f (x), определенной на интервале (-8;3). В какой точке отрезка [-3;2] функция f (x) принимает наибольшее значение. 12. На рисунке изображен график y =f (x) производной функции f (x), определенной на интервале (-8;4). В какой точке отрезка [-7;-3] f (x) принимает наименьшее значение.

8 Касательная к графику функции Пример 5. На рисунке изображен график y =f (x) производной функции f (x), определенной на интервале (6;8). Найдите количество таких чисел x i, что касательная к графику функции f (x) в точке с абсциссой x i параллельна прямой y = 2x - 5 или совпадает с ней. Решение. Касательная к графику функции f (x) параллельна прямой y = 2x 5 или совпадает с ней, поэтому ее угловой коэффициент равен 2. Так как значение производной равно f (x 0 ) = k, то есть f (x 0 ) = 2, то на данном рисунке графика производной функции y = f (x) проведем прямую y = 2. Количество общих точек прямой y = 2 и графика производной функции y =f (x) равно 4. Значит, и количество абсцисс x i, соответствующих этим точкам, равно 4. Ответ: На рисунке изображен график y =f (x) производной функции f (x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y = f (x) параллельна прямой y = 2x 2 или совпадает с ней.

9 14. На рисунке изображен график y =f (x) производной функции f (x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y = f (x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней. 15. На рисунке изображен график y =f (x) производной функции f (x), определенной на интервале (-10;2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f (x) параллельна прямой y = - 2x - 11 или совпадает с ней.

10 Серия задач на одном графике 1. На рисунке изображен график y = f (x) производной функции f (x), определенной на интервале (-9;8). В какой точке отрезка [ - 8;-4] функция f (x) принимает наименьшее значение. В какой точке отрезка [1;7] функция f (x) принимает наименьшее значение. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f (x) параллельна прямой y = x -7 или совпадает с ней. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f (x) параллельна прямой y = - x + 8 или совпадает с ней. В какой точке отрезка [-5;3] функция f (x) принимает наименьшее значение. 2. На рисунке изображен график y = f (x) производной функции f (x), определенной на интервале (-6;6). В какой точке отрезка [-5;-1] функция f (x) принимает наибольшее значение. В какой точке отрезка [-3;5] функция f (x) принимает наибольшее значение. Найдите точку экстремума функции f (x) на интервале ( 4;5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f (x) параллельна прямой y= - 3x - 11 или совпадает с ней. Найдите промежутки возрастания функции f (x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

11 3. На рисунке изображен график y = f (x) производной функции f (x), определенной на интервале (-5;5). В какой точке отрезка [-4;-1] функция f (x) принимает наименьшее значение. Найдите количество точек экстремума функции f (x), принадлежащих отрезку [-4;4]. Найдите промежутки возрастания функции f (x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f (x) параллельна прямой y - 0,5x + 9 или совпадает с ней. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f (x) параллельна прямой y = - 2x 2 или совпадает с ней.