ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Задача 1. Движение материальной точки, перемещающейся по прямой, задано уравнением: S = 4t3 + 2t + 1 (1)

Задача 1. Движение материальной точки, перемещающейся по прямой, задано уравнением: S = 4t 3 + 2t + 1 (1).

Найти в интервале времени, начиная от 1 с до 2 с: мгновенные скорости в начале и в конце интервала; среднюю скорость движения; мгновенное ускорение в начале и в конце заданного интервала времени.

Находим мгновенную скорость как производную от пути по времени:

Для вычисления средней скорости движения надо найти отношение пути ко времени, в течении которого он пройден:

По формуле (3) вычисляем скорости в начале и конце интервала времени (t0 = 1 c, t = 2 c): v0 =12 +2 = 14 (м/с); v = 12·2 2 + 2 = 50 (м/с).

Для определения средней скорости находим путь, пройденный точкой за время от t0 = 1 c до t = 2 c, используя уравнение (1). Этот путь равен: Ds = 4·(t 3 – t0 3 ) + 2·(t – t0) =4·(2 3 - 1 3 ) + 2·(2 – 1) = 30 (м).

По формуле (4) вычисляем:

Мгновенное ускорение определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени:

Используя (3), находим а = 24t. В начале и в конце заданного интервала времени ускорение равно: а0 =24 (м/с 2 ), а = 24·2 = 48 (м/с 2 ).

Задача 2. Тяжёлое тело брошено вверх с высоты 12 м под углом 30 0 к горизонту с начальной скоростью 12 м/с. Определить продолжительность полёта тела до точки А и до точки В (рис.); максимальную высоту, которую достигнет тело; дальность полёта тела. Сопротивление воздуха не учитывать.

Дано: Н = 12 м, j = 30 0 , v0 = 12 м/с.

В обозначенной на рис. 1 системе координат составляющие начальной скорости будут:

Координаты тела с течением времени меняются в соответствии с уравнением равнопеременного движения:

Время подъёма тела найдём из условия, что в наивысшей точке подъёма тела скорость vу = 0. Тогда из уравнения (2):

Время спуска тела от точки С до точки А равно времени подъёма, поэтому продолжительность полёта тела от точки О до точки А равна:

Максимальную высоту подъёма найдём из уравнения (3), подставив в него время подъёма из уравнения (5):

Время полёта тела до точки В найдём из уравнения (3), приравняв координату Y к нулю (Y = 0):

Дальность полёта найдём из уравнения (4), подставляя в него время движения из уравнения (8): Хmax = v0 · tB · cosj (9).

Проведём вычисления по формуле (6):

Задача 3. Маховик массой 4 кг свободно вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр, делая 720 об/мин. Массу маховика можно считать распределённой по его ободу радиуса 40 см. Через 30 с под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое делает маховик до полной остановки.

w = 0, m = 4 кг, n = 720 об/мин = 12с -1 , Dt = 30 с, R = 40 см = 0,4 м.

Для определения тормозящего момента М нужно применить основное уравнение динамики вращательного движения, т.е. второй закон Ньютона:

где I - момент инерции маховика относительно оси, проходящей через центр масс; Dw - изменение угловой скорости за время Dt, причём Dw = w - w0, где w - конечная угловая скорость, w0 – начальная угловая скорость, М – тормозящий момент сил, действующих на тело.

По условию задачи Dw = -w0, так как конечная угловая скорость w = 0. Выразим начальную угловую скорость w0 через число оборотов маховика n в единицу времени, тогда w0 = 2pn и Dw = - 2pn. Момент инерции маховика I = mR 2 , где m - масса маховика, а R - его радиус. Зная все величины, можно определить тормозящий момент:

Определяем числовое значение тормозящего момента М в единицах СИ:

Угол поворота (угловой путь j) за время вращения маховика до остановки может быть определён по формуле для равнозамедленного вращения: (3),

где e - угловое ускорение.

По условию задачи: w = w0 - eDt; w = 0, w0 = eDt.

Тогда выражение (3) может быть записано так:

Аналогичный результат можно получить, выразив значение j через число полных оборотов N и w0 – через число оборотов маховика в единицу времени n, найдем:

Отсюда определим число полных оборотов N,

Подставляем числовые значения в (7):

Задача 4. Материальная точка массой 20 г совершает гармонические колебания с периодом 9 с. Начальная фаза колебаний 10 0 . Через сколько времени от начала движения смещение точки достигнет половины амплитуды? Найти амплитуду, максимальные скорость и ускорение точки, если полная энергия её равна 10 5 эрг.

Дано: m = 20 г = 0,02 кг; Т = 9 с;

х = 1/2А; Е = 10 5 эрг. = 10 -2 Дж.

Уравнение гармонического колебательного движения:

где: х – смещение точки относительно положения равновесия;

А – амплитуда колебания;

Т – период колебания;

t – время колебания;

j0 – начальная фаза колебания.

Из уравнения (1) можно определить время колебания t:

Подставляя числовые значения в формулу (2) получим:

Амплитуду колебания можно определить из формулы полной энергии колеблющейся точки Е: (3).

Подставляя в формулу (4) числовые значения в единицах СИ, получим:

Зная амплитуду, можно вычислить максимальную скорость точки, которая определится как первая производная от смещения х по времени:

Полагая получаем значение максимальной скорости:

Определяем числовое значение:

Ускорение точки определяется как первая производная от скорости по времени, т.е.

Считаем при максимальном ускорении что дает:

Подставляя все числовые значения в единицах СИ, получаем:

Задача 5. Установить, сколько молей и молекул водорода содержится в баллоне объёмом 50 м 3 под давлением 767 мм. рт. ст. при температуре 18 0 С. Какова плотность и удельный объём газа?

Дано: V = 50 м 3 ; Р = 767 мм. рт. ст. = 767 · 1,33 · 10 2 Па;

Т = (273 + 18) К = 291 К; m =2·10 -3 кг/моль.

На основании уравнения Клапейрона-Менделеева :

устанавливаем число молей n, содержащееся в заданном объёме V. Зная Р – давление газа, V – объём газа, R – молярную газовую постоянную и Т – термодинамическую температуру, можно определить число молей по формуле:

Проведем вычисление n в единицах СИ:

Число молекул N, содержащихся в данном объёме, находим, используя число Авогадро NA (которое определяет, какое количество молекул содержится в одном моле). Общее количество молекул, находящихся в массе М, может быть установлено, так как известно число молей n:

Подставляя в формулу (3) число молей из формулы (2), устанавливаем число молекул, содержащихся в объёме:

Плотность газа определяем из уравнения Клапейрона-Менделеева:

Используя уравнение (5), получим:

Подставляя числовые значения в единицах СИ в формулу (6), определим плотность газа:

Удельный объём газа d определяем из уравнения Клапейрона-Менделеева (1): В результате получаем:

Подставляя числовые значения в единицах СИ найдём:

Проверяем единицы измерения полученных величин:

Задача № 6. Баллон содержит смесь газов кислорода (М1 = 80 г) и аргона (М2 = 300 г.). Давление смеси Р = 10 атм., температура t = 15 0 С. Определить ёмкость баллона V, считая газы идеальными.

По закону Дальтона давление смеси газов равно сумме парциальных давлений. По уравнению Клапейрона-Менделеева парциальные давления кислорода Р1 и аргона Р2 выражаются формулами:

Следовательно, по закону Дальтона давление смеси газов:

Отсюда ёмкость баллона:

Выразим в единицах СИ числовые значения величин, входящих в эту формулу:

М1 = 80 г = 0,08 кг; m1= 32 · 10 -3 кг/моль;

М2 = 300 г = 0,3 кг; m2·= 40 · 10 -3 кг/моль;

Р = 10 атм. = 10 · 1,01 · 10 5 Н/м 2 ; Т = 15 + 273 = 288 К;

R = 8,31 Дж/моль · град.

Подставим числовые значения в формулу (1) и произведём вычисления:

Задача № 7. Определить среднюю длину свободного пробега молекул и число соударений за 1 с, происходящих между всеми молекулами азота в сосуде ёмкостью 4 л, содержащегося при нормальных условиях.

Дано: V = 4 л = 4 · 10 -3 м -3 ; m = 28 · 10 -3 кг/моль; Т = 273 0 К;

Р = 1,01 · 10 5 Па; s = 3,1 · 10 -10 м.

Средняя длина свободного пробега молекул азота может быть найдена, если известно число молекул в единице объёма n0 и эффективный диаметр молекулы s

Число молекул в единице объёма n0 определяется из формулы давления, полученной на основании уравнения молекулярно-кинетической теории газов P = n0кТ. Отсюда следует, что

где к – постоянная Больцмана. В окончательном виде формула имеет вид:

Число соударений Z, происходящих между всеми молекулами за 1 с, можно вычислить по формуле:

где N – общее число молекул, – число соударений одной молекулы за 1 с.

Общее число молекул в сосуде N:

Число соударений одной молекулы за 1 с получим, если её среднюю арифметическую скорость разделим на длину свободного пробега :

Средняя арифметическая скорость молекул:

Подставляя в (5) выражения (6), (1а), находим число соударений каждой молекулы за 1 с:

Общее число соударений за 1 с между всеми молекулами вычисляем, используя соотношения (3), (4), (7):

Подставляя числовые значения, получим:

Проверяем единицы измерения полученных величин:

Задача № 8. В цилиндре под поршнем находится водород массой М = 0,02 кг при температуре t = 27 0 С. Водород сначала расширился адиабатически, увеличив свой объём в 5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объём газа уменьшился в 5 раз. Найти температуру в конце адиабатического процесса расширения и работу, совершенную газом. Изобразить процесс графически.

Температура и объём газа, совершающего адиабатический процесс, связаны между собой соотношением:

где - отношение теплоёмкости газа при постоянном давлении и постоянном объёме (для водорода как двухатомного газа = 1,4). Отсюда получаем следующее выражение для конечной температуры Т2:

Подставляя числовые значения заданных величин находим:

Т2 = (27 0 + 273 0 )·(1/5) 1,4-1 = 300·(1/5) 0,4 .

Прологарифмируем обе части полученного выражения:

lg T2 = lg 300 + 0,4(lg 1 – lg 5) = 2,477 + 0,4(lg 1 – lg 5) = 2,197

Зная lgT2, по таблицам логарифмов находим искомое значение:

Работа А газа при адиабатическом расширении может быть определена по формуле:

Подставив числовые значения величин: R = 8,31 Дж/(моль · град); i = 5 (для водорода как двухтомного газа); m = 2 · 10 -3 кг/моль; М = 2,02 кг; Т1 = 300 0 ; Т2 = 157 0 в правую часть последней формулы и, выполняя арифметические действия, получим:

Работа А2 газа при изотермическом процессе может быть выражена формулой:

Подставляя известные значения величин, входящих в правую часть этого равенства, и выполняя арифметические действия, находим:

Знак «минус» показывает, что при сжатии газа работа совершается над газом внешними силами.