Проект на тему: "Гармония мира, или музыкальные ритмы в жизни подростка"

На первых же уроках сольфеджио – так называются уроки музыкальной грамоты – ученики музыкальных школ сразу же сталкиваются с математикой. 7 нот, 5 линеек нотного стана, интервалы. А ноты-то все разные. Одни коротенькие совсем, другие длинные.

Глава I. Математические законы в музыке

1.1 Историческая справка

1.2 Математическая чистота звука

1.3 Музыкальные ритмы и математические периоды.

Глава II. Значение музыкального ритма в жизни подростка

2.1 .Музыкальный ритм и его значение в жизни человека

2.2. Музыкальные ритмы в жизни подростка.

Глава III Практическая часть. Исследование

3.1 Социологический опрос

3.2 Лабораторное исследование Аквалайзер

«Музыка есть таинственная арифметика души;

она вычисляет, сама того не сознавая».

Готфрид Лейбниц

На первых же уроках сольфеджио – так называются уроки музыкальной грамоты – ученики музыкальных школ сразу же сталкиваются с математикой. 7 нот, 5 линеек нотного стана, интервалы. А ноты-то все разные. Одни коротенькие совсем, другие длинные.

Так в 5-6 лет ребята, которые занимаются музыкой, узнают, что ноты или что-нибудь другое может делиться. А ведь деление школьники начинают изучать только в 8-9 лет, в конце второго класса. Интересно, что у истоков музыкальной грамотности стоял великий математик Пифагор. И не случайно!

Чтобы записать слова – мы используем буквы, числа – цифры, а музыку – ноты. При записи мелодии, звуки имеют свою длину (длительность).

Здесь и происходит сопоставление целого числа и целой длительности, дробного числа и длительности коротких нот, записываемых при помощи дроби. Не зная математических понятий, не умея различать дроби, не умея сравнивать их, невозможно было бы сыграть музыкальный фрагмент. Все музыкальные произведения тоже записываются нотами в определенной музыкальной последовательности.

Таким образом, математика и музыка – два полюса человеческой культуры, два школьных предмета, две системы мышления, тесно связанные между собой то есть, занимаясь музыкой, человек развивает и тренирует свои математические способности.

Музыкальные и математические операции родственны и содержательно и психологически. У каждого человека свои музыкальные предпочтения. И не случайно выбранная музыка показывают характер и отношение к миру своего слушателя.

• показать, как математика подчиняет своим законам окружающую действительность, в частности, показать значение математики в развитии музыки и влияние ее на жизнь подростка

Задачи проекта:

сравнить материал, изучаемый в музыкальной школе, и материал, который изучают ученики в школьном курсе математики;

провести анкетирование и установить музыкальные предпочтения подростков

проанализировать и установить связь между звуками и поведением личности;

Объект исследования: школьный курс музыки и математики

Предмет исследования: математические законы в музыке

Методы исследования: работа с источниками информации, анкетирование, анализ, сравнение, наблюдение.

Гипотеза: если изучить взаимосвязь математики с музыкой, то можно выявить особенности влияния современной музыки на жизнь подростка

Глава 1. Математические законы в музыке

1.1 Историческая справка

Математика и музыка - два школьных предмета, два полюса человеческой культуры. Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мир звуков. Решая задачи, погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываемся о том, что мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом.

Казалось бы, искусство - весьма отвлеченная от математики область. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика - самая абстрактная из наук, а музыка - наиболее отвлеченный вид искусства.

Открытие Пифагора в области теории музыки

Суть его в том, что сочетание звуков, издаваемых струнами, наиболее благозвучно, если длины струн музыкального инструмента находятся в правильном численном отношении друг к другу.

Для воплощения своего открытия Пифагор использовал монохорд – полуинструмент, полуприбор.

Под струной на верхней крышке ученый начертил шкалу, с помощью которой можно было делить струну на части. Было проделано много опытов, в результате которых Пифагор описал математически звучание натянутой струны.

Что определяет консонанс (созвучание)

Долгое время не было единого мнения о том, что определяет приятное для слуха звучание струны (в музыке это явление называют консонансом). Ясность в этот вопрос внес Архит (IV(4) в. до н.э.), который сущность высоты тона видел не в длине струны и не в силе натяжения, а в скорости ее движения, т.е. скорости ударения струны по частичкам воздуха.

Сегодня эта "скорость движения" носит название частоты колебания струны. Архит установил, что высота тона (или частота колебания струны) обратно пропорциональна ее длине.

Законы пифагорейской музыки

В основе этой музыкальной системы были два закона, которые носят имена двух великих ученых - Пифагора и Архита. Вот эти законы:

1. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа, образующие треугольное число 10=1+2+3+4, т.е. как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число (n) в отношении n:(n+1) (n=1,2,3), тем созвучнее получающийся интервал.

2. Частота колебания (w) звучащей струны обратно пропорциональна ее длине (l) .

w = a : l

где (а) - коэффициент, характеризующий физические свойства струны.

1.2 Математическая чистота звука.

"Музыку я разъял как труп,

Проверив алгеброй гармонию."

Гейн А. Г, Касымов А. О.

От этих слов, вложенных А.С. Пушкиным в уста Сальери, веет мертвящей пропастью между музыкой и математикой. Отравлен Моцарт - живое воплощение музыки, и сама музыка мертва под математическим скальпелем убийцы гения. Разве не отражают эти пушкинские строки мнение большинства людей, что между математикой и музыкой нет и не может быть ничего общего?

Между тем именно исследованию музыки посвящали свои работы многие величайшие математики: Рене Декарт, Готфрид Лейбниц, Христиан Гольдбах, Жан д'Аламбер, Леонард Эйлер, Даниил Бернулли. Первый труд Рене Декарта - "Compendium Musicae" ("Трактат о музыке"); первая крупная работа Леонарда Эйлера - "Диссертация о звуке". Эта работа 1727 года начиналась словами: "Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований все, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков". Лейбниц в письме Гольдбаху пишет: "Музыка есть скрытое арифметическое упражнение души, не умеющей считать". И Гольдбах ему отвечает: "Музыка - это проявление скрытой математики".

Почему же скрытой? Ведь в Древней Греции музыка прямо считалась частью математики, а еще точнее, разделом теории чисел. Первым, кто попытался выразить красоту музыки с помощью чисел, был Пифагор - тот самый, чьим именем названа знаменитая теорема. И в XVII веке французский философ, физик, математик Марен Мерсенн в трактате "Истина наук против скептиков или пирроников" также рассматривал музыку как отрасль математики.

В наше время музыкой могут быть названы и чарующие переливы арфы, и скрип открываемой двери, и шум заводского цеха, и оркестр настроенных на разные станции радиоприемников. Все это - искусство организации звуковых последовательностей. Однако симфонии Моцарта существенно отличаются от произведений авторов "индустриальной музыки", причем речь не о художественных достоинствах этих сочинений, а о материале, из которого они "изготовлены". "Сырьем" для большинства сонат, песен, опер служат музыкальные звуки (их мы называем нотами), которые отличаются от шумов. Чтобы прояснить суть этого отличия, уточним, что же такое звук.

Всякий звук - это воспринимаемые человеческим ухом колебания среды, обычно воздуха. Источником колебаний могут быть голосовые связки певца, струна музыкального инструмента, плохо смазанная дверь и т.п. Одна из основных характеристик колебательного процесса - частота колебаний. Музыкальные звуки имеют ту особенность, что им присуща вполне определенная частота колебаний. А вот про шумы нельзя сказать, что им соответствует какая-либо конкретная частота - они представляют собой беспорядочную смесь нескольких колебательных процессов самой различной частоты. Известно, что частота измеряется в Герцах - числе полных колебаний в секунду, обозначение Гц.

Человеческое ухо способно воспринимать звук, частота которого заключена приблизительно в интервале от 16 до 16000 Гц. В музыке используется диапазон от 16 до примерно 5000 Гц. Даже если считать только звуки с целым значением частоты, то получится около 5 тысяч, а ведь есть еще звуки с частотой 100,5; 3333, 14159 и т.д. Между тем, концертный рояль - инструмент с огромным звуковым диапазоном - имеет всего 87 клавиш. Более того, через каждые двенадцать клавиш повторяется их расположение и их названия. И очень высокие и очень низкие звуки носят одни и те же повторяющиеся имена: до, фа-диез, ля-бемоль. Постараемся понять, каким образом из всего

многообразия звуков были отобраны именно те, к которым мы привыкли, и почему именно через каждые 12 клавиш повторяются названия нот. Для начала займемся измерениями. А где измерения, там вступает в свои права математика.

Только что мы встретились с важнейшей особенностью музыкально-математических исследований: результаты применения численных методов все время должны проверяться человеческим ухом. Первым, кто в построении теории музыки отдавал приоритет слуховым ощущения, был ученик Аристотеля Аристоксен. Основателем школы, ставившей во главу угла математические соотношения, был Пифагор. Его же признают создателем первой музыкальной теории.

Для своих исследований Пифагор использовал так называемый монохорд (в переводе с греческого - однострунный). Инструмент представлял собой четырехугольный ящик длиной около 1 метра, над верхней декой (доской) располагалась одна струна, ограниченная с двух сторон порожками. Под струной располагалась двигающаяся подставка, которая позволяла изменять высоту звука.

Вообще говоря, высота звука, издаваемого струной, определяется несколькими параметрами - длиной и толщиной струны, плотностью материала, из которого она изготовлена, натяжением и т.д. Когда свойства звука изучаются на монохорде, то толщина струны, ее натяжение и плотность материала остаются неизменными. Высота извлекаемого звука изменяется простым смещением подставки.

Частота, с которой колеблется вся струна целиком, определяет так называемый основной тон. Колебания частей струны вызывают появление обертонов. Самые сильный обертон возникает при колебаниях 1/2 части струны, слабее 1/3, 1/4, 1/5 и т.д. Соответственно соотношение частот (или высот) этих обертонов выглядит так: 1:2:3:4:5:6. Это так называемый натуральный или гармонический ряд звуков, и соответствующие обертоны тоже называются гармоническими.

Математическое описание этого явления было дано значительно позже усилиями д'Аламбера, Эйлера, Даниила Бернулли, Лагранжа. Прежде всего отметим, что для описания колебаний точки около положения равновесия нужна всего одна переменная x, показывающая на сколько отклоняется точка от положения равновесия в момент времени t. В наиболее простом случае периодических колебаний с постоянной амплитудой зависимость x от времени описывается формулой x = Acoswt, где A - амплитуда, а w - частота колебаний (рис. 1 а и 1 б).

Если колеблется протяженное тело, например, струна, то нам потребуется описать колебание каждой точки этого тела, т.е. функция, описывающая отклонение тела, имеет два аргумента: координату точки струны и время. Скажем, такая функция может выражаться следующей формулой:

y = A sin 2p lx coswt,

где A - амплитуда, l - длина струны, x - координата точки струны, а w - частота колебаний

Все слагаемые соответствуют в точности гармоническим обертонам. Вот математика и объяснила нам, почему на струнном инструменте мы, извлекая некоторый звук, вместе с основным

тоном автоматически получаем гармонические обертоны. Хорошо, что наличие гармонических обертонов не вызывает у нас неприятных ощущений. Иначе мы не смогли бы слушать даже самый короткий музыкальный отрывок состоящий из одной ноты, не говоря уже о целой симфонии.

Симметрия в музыке.

Симметрия часто используется в музыке. Ряд музыкальных форм строится симметрично. В этом отношении особо характерно рондо (рондо от фр. – круг). В рондо музыкальная тема многократно повторяется, чередуясь эпизодами различного содержания. Главная тема проводится не менее трех раз в основной тональности, а эпизоды – в других тональностях. Это напоминает зеркальную симметрию, основная тема служит плоскостью, от которой как бы отражаются эпизоды. Но тот эпизод, который раньше прозвучал в высокой тональности, повторяется в низкой, и наоборот.

«Душа музыки- ритм, он состоит в правильном периодическом повторении частей музыкального произведения», - писал в 1908 г.известный русский физик Г. В. Вульф,- « Правильное же повторение – сущность симметрии».

Приложим к музыкальному произведению понятие симметрии при помощи нот, т. е. получаем пространственный геометрический образ.

Гамма до мажор.

Композитор в своем произведении может по несколько раз возвращаться к одной и той же теме, постепенно разрабатывая ее. Примером данной формы является «Рондо-каприччио» (фортепиано) Бетховена.

1.3 Музыкальные ритмы и математические периоды.

Слово «ритм» изначально принадлежало музыке, хотя сегодня неудивительно, что оно может быть известно человеку совершенно из других источников. Даже в словаре Ожегова «ритм» определяется как равномерное чередование каких-нибудь элементов. Музыкальный ритм дается как пример, а не как определение. Таким образом, «ритм» можно назвать общим понятием в области науки и искусства.

Ритмичность присуща самой природе, где все процессы и явления имеют определённую цикличность. Ритмично чередуются времена года, месяцы, недели, дни и ночи.

Ритмична работа человеческого организма. Ритм обнаруживается повсюду в окружающем нас мире. Все это говорит о том, что ритм является одной из первооснов жизни: он присутствует в живой и неживой природе, мы его слышим и видим – в шуме морского прибоя, в узоре на крыльях бабочки, в срезе любого дерева, сучка. На заре человеческой цивилизации древние люди использовали ритм как систему сигналов предупреждения сородичей об опасности. В период формирования человеческой речи для выражения эмоций (радость, печаль, страх и т. д.) появляются в речи звуки, периодично повторяющиеся. Так, от природной ритмичности в процессе эволюции человека зарождался ритм, созданный им самим.

Но наряду с природными, существуют ритмы, созданные самим человеком, к примеру, музыкальный ритм. Истоки зарождения и развития ритма в музыке относятся к глубокой древности.

Может быть во всеобщей ритмичности бытия, и заключен ответ на вопрос, отчего мы так чувствуем музыкальные ритмы и отчего это чувство пробуждается в нас уже с первых дней жизни, задолго до того, как мы научимся различать и понимать слова. Почему маленькие дети так быстро и легко засыпают под звуки колыбельной песни? Почему они тут же начинают приплясывать, если поёшь им какую-нибудь музыкальную прибаутку? Ведь ребенок еще не учился ничему и не знает, что на музыку следует как-то реагировать – двигаться, танцевать и т.д.

Наверное, это происходит оттого, что музыкальный ритм, наиболее, близок природе человека и, воздействуя на неё, способен вызвать ответную реакцию. А любая ответная реакция – это уже диалог, общение человека с внешним миром, первое ощущение единения с ним. Ведь так важно чувствовать себя не одинокой, затерянной в бесконечности песчинкой, а полноправной частичкой мира, живущего и чувствующего так же, как и ты сам.

Вот почему иногда говорят, что ритм – изначальная форма связи человека с жизнью, с людьми, со своим временем.

Математика также заимствовала данное слово. Исследуя математические закономерности и числовые последовательности, часто можно обнаружить ритмичность. В частности, «простейшими» примерами математических ритмов являются периодические дроби (кстати, слово «период» также знакомо музыкантам).

Рассмотрим несколько интересных примеров:

Данные дроби (и особенно их периоды) представляют интерес не только собой, но и в сравнении.