Тренировочная работа 1 по МАТЕМАТИКЕ

1 Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ класс Вариант Математика класс Вариант 2 Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (24 мин) Работа состоит из двух частей и содержит 8 заданий Часть содержит 2 заданий с кратким ответом (В В2) базового уровня по материалу курса математики Задания части считаются выполненными, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С С6) по материалу курса математики При их выполнении надо записать полное решение и записать ответ Советуем для экономии времени пропускать задание, которое не удается выполнить сразу, и переходить к следующему К выполнению пропущенных заданий можно вернуться, если у вас останется время Желаем успеха! Район Город (населенный пункт) Школа Класс Фамилия Имя Отчество

2 Математика класс Вариант 3 Часть Ответом на задания B B2 должно быть целое число или конечная десятичная дробь Единицы измерений писать не нужно B В обменном пункте одна украинская гривна стоит 3 рубля 8 копеек Отдыхающий Н обменял рубли на гривны и купил арбуз весом 7 кг по цене 2 гривны за кг Во сколько рублей обошлась ему эта покупка? B2 На рисунке жирными точками показана цена олова на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 3 по 8 сентября 27 года По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали цена тонны олова в долларах США Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией Определите по рисунку цену олова на момент закрытия торгов 7 сентября (в долларах США за тонну) Математика класс Вариант 4 B4 В треугольнике ABC проведены биссектрисы AK и BM Известно, что угол ABM равен 5, а угол KAM равен 8 Найти внешний угол BCD при вершине C B5 Для изготовления книжных полок требуется заказать 3 одинаковых стекол в одной из трех фирм Площадь каждого стекла,35 м 2 В таблице приведены цены на стекло, а также на резку стекол и шлифовку края Сколько рублей будет стоить самый дешевый заказ? Фирма Цена стекла (руб за ) м 2 Резка и шлифовка (руб за одно стекло) A Б 4 65 В B6 На клетчатой бумаге с клетками размером см см изображен треугольник (см рисунок) Найдите его площадь в квадратных сантиметрах B3 Найдите корень уравнения 7x + = 8 B7 5 3π Найдите tgα, если cosα = и 34 2 < α < 2π

3 Математика класс Вариант 5 B8 На рисунке изображён график функции y = f (x) и касательная к нему в точке с абсциссой x = 2 Найдите значение производной функции f (x) в точке x = 2 Математика класс Вариант 6 B2 Смешали 3 литра -процентного водного раствора некоторого вещества с 7 литрами 2-процентного водного раствора этого же вещества Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Часть 2 Для записи решений и ответов на задания C C4 используйте бланк ответов 2 Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное обоснованное решение и ответ B9 Объем прямоугольного параллелепипеда равен 2 Каждое ребро этого параллелепипеда увеличили в 4 раза Найдите объем получившегося параллелепипеда B Для одного из предприятий-монополистов зависимость объёма спроса на продукцию q (единиц в месяц) от её цены p (тыс руб) задаётся формулой: q = 8 p Определите максимальное значение цены p (в тыс руб), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q p составит не менее 5 тыс руб C sin2x + 2sin 2 x Решите уравнение = cosx C2 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA B C D, у которого AA = 3, AD = 8, AB = 6, найдите угол между плоскостью ADD и прямой EF, проходящей через середины ребер AB и B C C3 Решите неравенство x 2 2x + (x + 2) 2 + x2 + 2x + (x 3) 2 (2x2 2 x + 5) 2(x + 2) 2 (x 3) 2 C4 Дан параллелограмм ABCD, AB = 2, BC = 5, A = 6 Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырёхугольника ABOD B Найдите наибольшее значение функции y = x 3 7x 2 + 6x 9 на отрезке ; 8 3

4 Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ класс Вариант 2 Математика класс Вариант 2 2 Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (24 мин) Работа состоит из двух частей и содержит 8 заданий Часть содержит 2 заданий с кратким ответом (В В2) базового уровня по материалу курса математики Задания части считаются выполненными, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С С6) по материалу курса математики При их выполнении надо записать полное решение и записать ответ Советуем для экономии времени пропускать задание, которое не удается выполнить сразу, и переходить к следующему К выполнению пропущенных заданий можно вернуться, если у вас останется время Желаем успеха! Район Город (населенный пункт) Школа Класс Фамилия Имя Отчество

5 Математика класс Вариант 2 3 Часть Ответом на задания B B2 должно быть целое число или конечная десятичная дробь Единицы измерений писать не нужно B В обменном пункте одна украинская гривна стоит 3 рубля 7 копеек Отдыхающий Н обменял рубли на гривны и купил арбуз весом 8 кг по цене 2 гривны за кг Во сколько рублей обошлась ему эта покупка? B2 На рисунке жирными точками показана цена олова на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 3 по 8 сентября 27 года По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали цена тонны олова в долларах США Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией Определите по рисунку цену олова на момент закрытия торгов 2 сентября (в долларах США за тонну) Математика класс Вариант 2 4 B4 В треугольнике ABC проведены биссектрисы AK и BM Известно, что угол ABM равен 3, а угол KAM равен 9 Найти внешний угол BCD при вершине C B5 Для изготовления книжных полок требуется заказать 25 одинаковых стекол в одной из трех фирм Площадь каждого стекла,3 м 2 В таблице приведены цены на стекло, а также на резку стекол и шлифовку края Сколько рублей будет стоить самый дешевый заказ? Фирма Цена стекла (руб за м 2 ) Резка и шлифовка (руб за одно стекло) A Б В B6 На клетчатой бумаге с клетками размером см см изображен ромб (см рисунок) Найдите его площадь в квадратных сантиметрах B3 Найдите корень уравнения 5x + 4 = 7 B7 3 Найдите tgα, если sinα = и 9 π 2 < α < π

6 Математика класс Вариант 2 5 B8 На рисунке изображён график функции y = f (x) и касательная к нему в точке с абсциссой x Найдите значение производной функции f (x) в точке x Математика класс Вариант 2 6 B2 Смешали 2 литра -процентного водного раствора некоторого вещества с 8 литрами 5-процентного водного раствора этого же вещества Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Часть 2 Для записи решений и ответов на задания C C4 используйте бланк ответов 2 Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное обоснованное решение и ответ B9 Объем прямоугольного параллелепипеда равен 5 Каждое ребро этого параллелепипеда увеличили в 2 раза Найдите объем получившегося параллелепипеда B Для одного из предприятий-монополистов зависимость объёма спроса на продукцию q (единиц в месяц) от её цены p (тыс руб) задаётся формулой: q = p Определите максимальное значение цены p (в тыс руб), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q p составит не менее 28 тыс руб C sin2x 2cos 2 x Решите уравнение = sinx C2 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA B C D, у которого AB =, BC = 2, CC = 6, 5, найдите угол между плоскостью ABC и прямой EF, проходящей через середины ребер AA и C D C3 Решите неравенство x 2 4x + 4 (x + ) 2 + x2 + 6x + 9 (x ) 2 (2x2 2 + x + 5) 2(x 2 ) 2 C4 Дан параллелограмм ABCD, AB = 3, BC = 7, A = 6 Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырёхугольника ABOD B Найдите наименьшее значение функции y = x 3 + 4x 2 5x + 8 на отрезке [ ; 3]

7 Математика класс Вариант Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C sin2x + 2sin 2 x Решите уравнение = cosx Перейдем к системе sin2x + 2sin 2 x =, cosx < Решим уравнение: 2sinxcosx + 2sin 2 x =, откуда sinx(cosx + sinx) = Значит, sinx = или tgx = Учитывая, что cosx <, находим: x = π + 2πk или x = 3π, где 4 + 2πk k Z 3π π + 2πk, + 2πk k Z 4 Обоснованно получен правильный ответ 2 Тригонометрическое уравнение решено верно, но отбор корней не произведен или произведен неверно выше C2 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA B C D, у которого AA = 3, AD = 8, AB = 6, найдите угол между плоскостью ADD и прямой EF, проходящей через середины ребер AB и B C Найдем угол между прямой EF и плоскостью грани BCC B, которая параллельна плоскости ADD Точка B проекция точки E на эту плоскость Искомый угол равен углу EFB BE = 6 2 = 3, Математика класс Вариант 2 B F = 8 2 = 4, FB = = 5 tg EFB = BE BF = 3 5 arctg 3 5 Обоснованно получен правильный ответ 2 Способ нахождения искомого угла верен, но получен неверный ответ или решение не закончено выше C3 Решите неравенство x 2 2x + (x + 2) 2 + x2 + 2x + (x 3) 2 (2x2 2 x + 5) 2(x + 2) 2 (x 3) 2 Сделаем замену: a = x x + 2, b = x + x 3 (x )(x 3) + (x + )(x + 2) Тогда a + b = = 2x2 x + 5 (x + 2)(x 3) (x + 2)(x 3) Неравенство принимает вид: a 2 + b 2 (a + b)2, 2 откуда a 2 + b 2 2ab ; (a b) 2 Это неравенство вычисляется тогда и только тогда, когда a = b x Получаем:, откуда x + 2 = x + x = x 3 7 Замечание Задача допускает решение без замены переменной: тождественными преобразованиями данное неравенство приводится к (7x ) 2 неравенству, откуда также получается ответ (x + 2) 2 (x 3) 2 x = 7 7

8 Математика класс Вариант 3 Математика класс Вариант 4 Обоснованно получен правильный ответ 3 Ответ неверен из-за арифметической ошибки 2 Решение содержит верные преобразования, но в результате ошибочных рассуждений приобретены лишние решения, либо на последнем этапе решение не закончено выше C4 Дан параллелограмм ABCD, AB = 2, BC = 5, A = 6 Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырёхугольника ABOD Окружностей две: каждая из них вписанная в правильный треугольник Эти треугольники имеют стороны равные 5 и 2 соответственно Для треугольника со стороной 5 радиус вписанной окружности равен r = Найдем площадь невыпуклого четырехугольника как сумму площадей треугольников AOB и AOD: S ABOD = 2 AB r + 2 AD r = = Для треугольника со стороной 2 радиус вписанной 3 окружности равен r = 3 Чтобы найти площадь четырехугольника ABOD, вычтем из площадь параллелограмма площади треугольников BOC и DOC: S ABOD = AB AD sin6 2 BC r 3 CD r = = , Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки выше 3 2

9 Математика класс Вариант 2 Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C sin2x 2cos 2 x Решите уравнение = sinx Перейдем к системе sin2x 2cos 2 x =, sinx > Решим уравнение: 2sinxcosx 2cos 2 x =, откуда cosx(sinx cosx) = Значит, cosx = или tgx = Учитывая, что sinx >, находим: x = π или 2 + 2πk x = π, где 4 + 2πk k Z π 2 + 2πk, π + 2πk k Z 4 Обоснованно получен правильный ответ 2 Тригонометрическое уравнение решено верно, но отбор корней не произведен или произведен неверно выше C2 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA B C D, у которого AB =, BC = 2, CC = 6, 5, найдите угол между плоскостью ABC и прямой EF, проходящей через середины ребер AA и C D Будем искать угол между прямой EF и плоскостью грани A B C D, параллельной плоскости ABC Точка A проекция точки E на эту плоскость Искомый угол EF A A E = 6, 5, 2 = 3 4 D F =, 2 = 5 A F = = 3 tg EF A = A E A F = = 4 Математика класс Вариант 2 2 arctg 4 Обоснованно получен правильный ответ 2 Способ нахождения искомого угла верен, но получен неверный ответ или решение не закончено выше C3 Решите неравенство x 2 4x + 4 (x + ) 2 + x2 + 6x + 9 (x ) 2 (2x2 2 + x + 5) 2(x 2 ) 2 Сделаем замену: a = x 2 x +, b = x + 3 x (x )(x 2) + (x + )(x + 3) Тогда a + b = = 2x2 + x + 5 (x + )(x ) x 2 Неравенство принимает вид: a 2 + b 2 (a + b)2, откуда a 2 + b 2 2ab ; (a b) 2 2 Это неравенство верно тогда и только тогда, когда a = b x 2 Получаем:, откуда x + = x + 3 x = x 7 Замечание Задача допускает решение без замены переменной: тождественными преобразованиями данное неравенство приводится к (7x + ) 2 неравенству, откуда также получается ответ 7 (x 2 ) 2 x = 7

10 Математика класс Вариант 2 3 Математика класс Вариант 2 4 Обоснованно получен правильный ответ 3 Ответ неверен из-за арифметической ошибки 2 Решение содержит верные преобразования, но в результате ошибочных рассуждений приобретены лишние решения, либо на последнем этапе решение не закончено выше Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки выше 3 2 C4 Дан параллелограмм ABCD, AB = 3, BC = 7, A = 6 Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырёхугольника ABOD Окружностей две: каждая из них вписанная в равносторонний треугольник Эти треугольники имеют стороны равные 7 и 3 соответственно Для треугольника со стороной 7 радиус вписанной окружности равен r = Найдем площадь невыпуклого четырехугольника как сумму площадей треугольников AOB и AOD: S ABOD = 2 AB r + 2 AD r = = Для треугольника со стороной 3 радиус вписанной окружности равен r = = 6 2 Чтобы найти площадь четырехугольника ABOD, вычтем из площади параллелограмма площади треугольников BOC и DOC: S ABOD = AB AD sin6 2 BC r 2 3 CD r = = , Математика класс Вариант Ответы к заданиям с кратким ответом задания Ответ задания Ответ B 53,2 B7 -,6 B2 49 B8,8 B3 9 B9 28 B4 66 B 5 B5 66 B 3 B6 6 B2 7 Математика класс Вариант 2 Ответы к заданиям с кратким ответом задания Ответ задания Ответ B 59,2 B7 -,3 B2 5 B8,5 B3 9 B9 4 B4 64 B 7 B5 48 B 2 B6 2 B2 4