Самостоятельные работы "Математика 6" Муравин
1. Расстояние между городами на местности, равное 110 км, изображено на карте отрезком длиной 5,5 см. Найдите масштаб карты.
2. Расстояние между городами на карте равно 3,5 см. Чему равно это расстояние на местности, если масштаб карты составляет 1:400 000?
3. Расстояние между городами Сухуми и Сочи на карте, масштаб которой 1:2500000, равно 5 см. Найдите реальное расстояние между этими городами.
4. Деталь на чертеже, выполненном в масштабе 9:1, имеет длину 6,3 см. Какую длину будет иметь эта же деталь на чертеже, выполненном в масштабе 5:1?
1. Трубопровод длиной 25 км изображен на карте отрезком длиной 2,5 см. Найдите масштаб карты.
2. Длина железнодорожной магистрали от Москвы до Курска приближенно равна 540 км. Какой длины будет линия, изображающая эту магистраль на карте, сделанной в масштабе 1:10 000 000?
3. Расстояние между Магаданом и Комсомольском-на-Амуре равно 1300 км. Каково расстояние между этими городами на карте, масштаб которой составляет 1:50 000 000?
4. На чертеже в одном масштабе изображены две детали. Длина первой детали в действительности равна 0,5 см, а на чертеже 6 см. Какую длину реально имеет вторая деталь, если ее изображение на чертеже имеет длину 2,4 см?
п.3. Отношения и пропорции
1. В туристическом клубе 25% женщин, а остальные – мужчины. Найдите отношение числа женщин клуба к числу мужчин.
2. Площадь одной фигуры 144 м 2 , а площадь другой – 2,4 а. Найдите отношение площади первой фигуры к площади второй, выразив обе площади в квадратных метрах или в арах.
3. На плане изображен участок земли в виде прямоугольника со сторонами 3 см и 7 см. Чему равна площадь этого участка на местности, если масштаб плана 1:1500?
4. Решите уравнение .
5. Вкладчик положил в банк 1200 р. Банк начисляет 12% годовых. Сколько рублей прибавится на вкладе через год?
1. В пенале находятся ручки и фломастеры. Число ручек составляет 40%. Найдите отношение числа ручек в пенала к числу фломастеров в нем.
2. Площадь одного поля 2,4 га, а площадь другого – 600 м 2 . Найдите отношение площади второго поля к площади первого поля, выразив обе площади в квадратных метрах или в гектарах.
3. На плане изображен участок земли в виде прямоугольника со сторонами 3 см и 4 см. Чему равна площадь этого участка на местности, если масштаб плана 1:2 000?
4. Решите уравнение .
5. Вкладчик положил в банк 15 000 р. Через год на банковском счете оказалось 16200 р. Какой годовой процент начислил банк?
п.4. Пропорциональные величины
1. На пошив 7 рубашек расходуется 14,7 м ткани.
а) Сколько метров ткани уйдет на пошив 12 таких рубашек?
б) Сколько рубашек можно пошить из 48 м?
2. Содержание соли в растворе составляет 16%.
а) Сколько килограммов соли содержится в 75 кг раствора?
б) Сколько килограммов такого раствора можно приготовить из 8,8 кг соли?
3. Расстояние на карте между пунктами А и В равно 4,2 см, а между пунктами В и С равно 3,6 см. Расстояние на местности между А и В равно 10,5 км.
а) Найдите расстояние между пунктами В и С на местности;
б) Найдите масштаб карты.
1. Из 9,6 кг помидоров получается 4 л томатного соуса.
а) Сколько литров соуса можно получить из 60 кг помидоров?
б) Сколько килограммов помидоров необходимо для приготовления 15 л соуса?
2. Сплав содержит 14% олова.
а) Сколько граммов олова содержится в 125 г сплава?
б) В скольких граммах сплава содержится 70 г олова?
3. Расстояние на местности между пунктами А и В равно 12,8 км, а между пунктами В и С равно 9,6 км. На карте расстояние между А и В равно 6,4 см.
а) Найдите расстояние на карте между пунктами В и С.
б) Найдите масштаб карты.
п.5. Деление в данном отношении
1. Разделите число 150 в отношении 4:11.
2. Из деревень А и В, расстояние между которыми 26 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. В момент встречи преодоленные ими расстояния относились соответственно как . Какое расстояние проехал до встречи велосипедист из деревни А?
3. Известно, что А D = DE = BE , а точка С – середина отрезка АВ.
Как относятся длины отрезков:
а) AD и AC ; б) DB и CB .
1. Разделите число 150 в отношении 2:8.
2. Из городов С и D , расстояние между которыми 210 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. В момент встречи преодоленные ими расстояния относились соответственно как . Какое расстояние проехал до встречи автомобиль из города D ?
3. Известно, что А D = DE = BE , а точка С – середина отрезка АВ.
Как относятся длины отрезков:
а) ВС и DE ; б) DC и AE .
п.6. Делители и кратные
1. Найдите: а) НОД(64; 96); б) НОК(36; 27).
2. Сократите дробь .
1. Найдите: а) НОД(81; 108); б) НОК(12; 28).
2. Сократите дробь .
п.7. Свойства делимости произведения, суммы и разности чисел
1. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел:
а) 30 и 18; б) 10 и 11.
2. Сократите дробь: а) б)
3. Выполните действия: а) б) .
4. Докажите или опровергните утверждения:
а) 55 25–21 делится на 11; б) если a и b натуральные числа, то 15а+35 b делится на 5.
1. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел:
а) 42 и 70; б) 11 и 12.
2. Сократите дробь: а) б)
3. Выполните действия: а) б) .
4. Докажите или опровергните утверждения:
а) 81 20–39 делится на 10; б) если x и y натуральные числа, то 14х+77у делится на 7.
п.8. Признаки делимости натуральных чисел
1. Даны числа 1724, 3925, 1122, 8105.
Выпишите те из них, которые делятся: а) на 2; б) на 3; в) на 25.
2. Найдите значение выражения: а) б) .
1. Даны числа 1724, 2925, 1122, 8105.
Запишите те из них, которые делятся: а) на 4; б) на 9; в) на 5.
2. Найдите значение выражения: а) б) .
п.9. Простые и составные числа
1. Запишите все простые числа, удовлетворяющие двойному неравенству:
а) 466<a<478; б) 547 b<557.
2. Найдите: а) НОД(323; 391); б) НОД (7975; 2585).
3. Разложите число 16 785 на простые множители.
1. Запишите все простые числа, удовлетворяющие двойному неравенству:
а) 641<c 645; б) 709 d 719.
2. Найдите: а) НОД(205; 451); б) НОД (1209; 1443).
3. Разложите число 42 200 на простые множители.
п.10. Взаимно простые числа
1. Сравните числа
2. Выполните действия
3. Сократите дробь
1. Сравните числа
3. Сократите дробь
п.13. Отрицательные числа и их изображение на координатной прямой
1. Начертите координатную прямую и отметьте на ней точки:
R (0,4), S (–0,8), T (1,35), Р (–1,2).
2. Запишите координаты отмеченных точек.
С В F D
3. Запишите координату точки Х1, симметричной точке Х(–4) относительно точки В(–1).
1. Начертите координатную прямую и отметьте на ней точки:
2. Запишите координаты отмеченных точек.
T Z У Х
3. Запишите координату точки Y 1, симметричной точке Y (–3) относительно точки А(1).
п.14. Сравнение чисел с разными знаками
1. Изобразите на координатной прямой точки:
А(3), В(5,8), С(0), D(–3,2), , .
2. Найдите числа, противоположные числам: –42; 31; –6,05; 0,1; – .
3. Сравните числа: а) 0 и –0,45; б) 3,7 и –8; в) –4,5 и –3,72.
1. Изобразите на координатной прямой точки:
K (2), L (6,3), M (1), N (–2,7), , .
2. Найдите числа, противоположные числам: 7; –92; 3,2; –0,3; .
3. Сравните числа: а) –0,7 и 0,7; б) 0,15 и 0; в) –1,5 и –1,53.
п.15. Сложение и вычитание чисел с разными знаками
1. Найдите с помощью координатной прямой сумму чисел –3 и .
2. Выполните действия:
3. Найдите значение выражения –2–(–7)+(–6)–9,5.
4. Решите уравнение –(–2)–3+х= –4.
1. Найдите с помощью координатной прямой сумму чисел –4 и –2,7.
2. Выполните действия:
3. Найдите значение выражения (–6)–(–3)+4+(–2,7).
4. Решите уравнение –(–3)+х+(–7)=5.
п.16. Умножение чисел с разными знаками
1. Вычислите: а) –2,3 0,3; б) ; в) (–2) 5 .
2. Упростите выражение (4,3–3у)–2(5,8+у).
3. Найдите значение выражения .
1. Вычислите: а) –4,2 0,2; б) ; в) (–3) 4 .
2. Упростите выражение (3,8–5х)–3(2,4–х).
3. Найдите значение выражения
п.17. Деление чисел с разными знаками
1. Запишите без скобок число: а) –(–2,5); б) –(+34); в) .
2. Сравните числа: а) –2,5 и 2,5; б) –7 и –17.
3. Запишите в порядке убывания числа: –10, 12; 0; –1,2; 2,1; –1.
4. Запишите все такие целые числа x , что –3,9<x 3.
5. Вычислите: а) –7+12; б) 0,8–(–0,6); в) ; г) 0–6.
6. Найдите значение выражения: а) (–1) (– ); б) 0:(–2); в) –3,2:0,5; г) .
7. Найдите произведение чисел: а) –0,1 (–1) (–2)(–3); б) 17 (–0,1) 3 .
1. Запишите число, противоположное числу: а) 3,7; б) –40; в) 0.
2. Сравните числа: а) –103 и –13; б) 0 и –0,9.
3. Запишите в порядке возрастания числа: 0,9; –9; 0; –19; 9,9; –10.
4. Запишите все целые числа x , для которых –4,7 x 2.
5. Вычислите: а) –1,9+1,9; б) 0–(–7); в) ; г) –15+(–19).
6. Найдите значение выражения: а) 0 (–17); б) ; в) –5,7 0,2; г) 60:(–12).
7. Найдите произведение чисел: а) –10 (–11) (–12); б) 0,038 (–10) 4 .
п.18. Решение уравнений
1. Составьте уравнение и решите его, если известно, что:
а) значения выражений и равны;
б) значения выражений 5 b +13 и –3 b –5 являются противоположными числами;
в) значение выражения больше значения выражения на 3;
г) значение выражения 3,2 d –16,2 меньше значения d в 2 раза.
2. Теплоход шел 4 ч против течения и 1,5 ч по течению, причем путь против течения оказался больше, чем путь по течению на 57 км. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 3 км/ч.
1. Составьте уравнение и решите его, если известно, что:
а) значения выражений и равны;
б) значения выражений 17– 5 y и 17 y +19 являются противоположными числами;
в) значение выражения меньше значения выражения на 2;
г) значение выражения 2,6р – 9,8 больше значения p в 4 раза.
2. Моторная лодка за 0,4 ч по течению реки прошла на 2,5 км больше, чем за 0,25 ч против течения реки. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.
п.19. Решение задач на проценты
1. Каждый житель некоторого города пользуется общественным транспортом, причем только каким-то одним его видом: автобусом, троллейбусом или трамваем. Сколько процентов горожан ездят на автобусе, если известно, что 32% горожан используют троллейбус, а 39% – трамвай?
2. Сравните: 37% от 25 и 25% от 37?
3. Какое число меньше 60 на 15%.
1. Каждый житель некоторого города ездит за город, причем для своих поездок использует какой-то один из трех видов транспорта: автобус, автомобиль или электричку. Сколько процентов горожан выезжает за город на автомобиле, если известно, что 38% используют автобус, а 43% – электричку?
2. Что меньше: 22% от 33 или 32% от 23?
3. Какое число больше 40 на 35%?
п.20. Длина окружности и площадь круга
1. Найдите длину окружности и площадь круга с радиусом 7 см (число округлите до сотых).
2. Длина окружности равна 31,4 см. Найдите площадь круга, радиус которого на 1 см больше радиуса данной окружности (число округлите до сотых).
3. Диаметр окружности уменьшили в 2 раза. Как изменились при этом: а) длина окружности; б) площадь круга?
1. Найдите длину окружности и площадь круга с радиусом 6 см (число округлите до сотых).
2. Длина окружности равна 62,8 см. Найдите площадь круга, радиус которого в 2 раза меньше радиуса данной окружности (число округлите до сотых).
3. Длина окружности увеличилась в 2 раза. Как изменились при этом: а) диаметр окружности; б) площадь круга?
п.21. Осевая симметрия
1. Сколько осей симметрии имеет каждая из фигур, изображенных на рисунке?
2. Постройте треугольник АВС, через середины двух его сторон проведите прямую m . Постройте треугольник, симметричный данному относительно прямой m .
1. Сколько осей симметрии имеет каждая фигура, изображенная на рисунке?
2. Постройте треугольник АВС, проведите прямую k через точку С, параллельно стороне АВ. Постройте треугольник, симметричный данному относительно прямой k .
п.22. Координаты
1. 1) Определите на рисунке координаты точек А, В, С и D .
2) Найдите координаты точек пересечения:
а) прямой ВС с осью абсцисс;
б) прямой А B с осью ординат;
в) прямых AD и BC .
2. Отметьте на координатной плоскости точку M (–3; –2) и точку N, симметричную точке M относительно начала координат.
1. 1) Определите на рисунке координаты точек А, В, С и D .
2) Найдите координаты точек пересечения:
а) прямой AD с осью абсцисс;
б) прямой С D с осью ординат;
в) прямых A С и BD .
2. Отметьте на координатной плоскости точку K (3; –2) и точку L, симметричную точке K относительно оси абсцисс.
п.23. Геометрические тела
1. Найдите радиус сферы, если ее площадь равна 49,5 см 2 .
2. Футбольный мяч имеет диаметр 30 см. Какой объем воздуха содержится в мяче? (Значение возьмите с точностью до сотых.)
1. Найдите диаметр сферы, если ее площадь равна дм 2 .
2. Волейбольный мяч имеет радиус 12 см. Какой объем воздуха содержится в мяче? (Значение возьмите с точностью до сотых.)
Ответы к самостоятельной работе
Вариант 1. 1. 2 см. 2. 14100 см 3 . Вариант 2. 1. дм. 2. 7230 см 3 .
п.24. Диаграммы
На круговой диаграмме показано, как распределились мнения 60 шестиклассников при ответе на вопрос: "В каком из летних месяцев самая хорошая погода?"
1) Какая часть шестиклассников считает, что лучшая погода в июле?
2) Сколько учеников считают, что лучшая погода в июне?
На круговой диаграмме показано, как распределились мнения 80 шестиклассников при ответе на вопрос: "Интересно ли изучать математику?".
1) Какая часть шестиклассников считает, что математику изучать интересно?
2) Скольким шестиклассникам не интересно изучать математику?
Ответы к самостоятельным работам
Вариант 1. 1. 1:2 000 000. 2. 14 км. 3. 125 км. 4. 3,5 см.
Вариант 2. 1. 1:1000 000. 2. 5,4 см. 3. 2,6 см. 4. 28,8 см.
п.3. Отношения и пропорции
Вариант 1. 1. 1:3. 2. 3:5. 3. 4725 м 2 . 4. х=0,96. 5., 144 р.
Вариант 2. 1. 2:3. 2. 1:400. 3. 48 а. 4. х=2,7. 5. 8%.
п.4. Пропорциональные величины
Вариант 1. 1. а) 25,2 м; б) 22 рубашки. 2. а) 12 кг; б) 55 кг. 3. а) 9 км; б) 1:250 000.
Вариант 2. 1. а) 25 л; б) 36 кг. 2. а) 17,5 г; б) 500 г. 3. а) 4,8 см; б) 1:200 000.
п.5. Деление в данном отношении
Вариант 1. 1. 40 и 110. 2. 12 км . 3. а ) AD : AC =2:3; б ) DB : CB =4:3.
Вариант 2. 1. 30 и 120. 2. 120 км. 3. а) ВС: DE =3:2; б) DC : AE =1:4.
п.6. Делители и кратные
Вариант 1. 1. а) НОД(64; 96)=32; б) НОК(36; 27)=108. 2. . 3. 0,28.
Вариант 2. 1. а) НОД(81; 108)=27; б) НОК(12; 28)=84. 2. . 3. 0,13.
п.7. Свойства делимости произведения, суммы и разности чисел
Вариант 1. 1. а) НОД(30; 18)=6, НОК(30; 18)=90; б) НОД(10; 11)=1, НОК(10;11)=110. 2. а) б) . 3. а) ; б) . 4. а) Не делится на 11, так как уменьшаемое делится на 11, а вычитаемое не делится на 11; б) сумма делится на 5, так как каждое слагаемое делится на 5.
Вариант 2. 1. а) НОД(42;70) = 14, НОК(42;70) = 210; б) НОД(11;12)=1; НОК(11;12)=132. 2. а) б) . 3. а) 4; б) . 4. а) Не делится на 10, так как уменьшаемое делится на 10, а вычитаемое не делится на 10; б) сумма делится на 7, так как каждое слагаемое делится на 7.
п.8. Признаки делимости натуральных чисел
Вариант 1. 1. а) 1724; б) 1122; в) 3925. 2. а) б) .
Вариант 2. 1. а) 1724; б) 2925; в) 2925, 8105. 2. а) б) .
п.9. Простые и составные числа
Вариант 1. 1. а) 467; б) 547. 2. а) 17; б) 55. 3. 3 2 5 373.
Вариант 2. 1. а) 643; б) 709. 2. а) 41; б) 39. 3. 2 3 5 2 211.
п.10. Взаимно простые числа
Вариант 1. 1. 2. 3.
Вариант 2. 1. 2. 3.
п.13. Отрицательные числа и их изображения на координатной прямой
Вариант 1. 2. . 3. Х1(2).
Вариант 2. 2. T (–0,5), Z (–0,3), Y (0,55), X (1,1). 3. Y 1(5).
п.14. Сравнение чисел с разными знаками
Вариант 1. 2. 42; –31; 6,05; –0,1; . 3. а) 0 > –0,45; б) 3,7 > –8; в) –4,5 < –3,72.
Вариант 2. 2. –7; 92; –3,2; 0,3; . 3. а) –0,7 < 0,7; б) 0,15 > 0; в) –1,5 > –1,53.
п.15. Сложение и вычитание чисел с разными знаками
Вариант 1. 1. 2. а) –0,6; б) в) 3. –10,5. 4. х = –3.
Вариант 2. 1. –6,7. 2. а) –0,7; б) в) 3. –1,7. 4. х = 9.
п.16. Умножение чисел с разными знаками
Вариант 1. 1. а) –0,69; б) ; в) –32. 2. –7,3–5у. 3. 2.
Вариант 2. 1. а) –0,84; б) ; в) 81. 2. –3,4–2х. 3. .
п.17. Деление чисел с разными знаками
Вариант 1. 1. а) 2.5; б) –34; в) . 2. а) –2,5 < 2,5; б) –7 > –17. 3. 12; 2,1; 0; –1; –1,2; –10. 4. . 5. а) 5; б) 1,4; в) –11; г) –0,6. 6. а) ; б) 0; в) 6,4; г) . 7. 0,6; б) –0,017.
Вариант 2. 1. а) –3,7; б) 40; в) 0. 2. а) –103 < –13; б) 0>–0,9. 3. –19; –10; –9; 0; 0,9; 9,9. 4. . 5. а) 0; б) 7; в) г) –34. 6. а) 0; б) ; в) –1,14; г) –5. 7. а) –1320; б) 380.
п.18. Решение уравнений
Вариант 1. 1. а) ; б) b = –4; в) с = 4,5; г) d = –4. 2. 29,4 км/ч.
Вариант 2. 1. а) х = –8,5; б) –3; в) г) p = –7. 2. 8 км/ч.
п.19. Решение задач на проценты
Вариант 1. 1. 29%. 2. Числа равны. 3. Число 51.
Вариант 2. 1. 19%. 2. 22% от числа 33. 3. Число 54.
п.20. Длина окружности и площадь круга
Вариант 1. 1. С=44 см, S =154 см 2 . 2. 113 см 2 . 3. а) Длина окружности уменьшилась в 2 раза; б) площадь круга уменьшится в 4 раза.
Вариант 2. 1. С=37,7 см, S =113 см 2 . 2. 78,5 см 2 . 3. а) Диаметр окружности увеличился в 2 раза; б) площадь круга увеличилась в 4 раза.
п.22. Координаты
Вариант 1. 1. 1) А(–1; 1), В(3; 1), С(–1; –3), D (2; –2). 2) а) (2;0); б) (0; 1); в) (1; 1). 2. N (3; 2).
Вариант 2. 1. 1) А(–3; 2), В(3; 1), С(–2; –2), D (1; –2). 2) а) (–1;0); б) (0; –2); в) (–1; 5). 2. N (3; –2).