4 Основные свойства определенного интеграла

1 178 4 Основные свойства определенного интеграла Рассмотрим основные свойства определенного интеграла. 1) Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (=), то интеграл равен нулю f ( ) d = 0 Данное свойство следует из определения определенного интеграла ( Δ = 0 ) 2) Если f( ) = 1, то > При f( ) = 1 d = def d = lim 1 Δ = lim Δ =. 3) При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на противоположный : Интеграл f d = f d f ( ) d был определен для случая, когда <. Если же >, то все множители Δ, входящие в интегральную сумму будут иметь противоположный знак, следовательно и вся интегральная сумма будет иметь противоположный знак. 4) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла f d = f d R > ( ) def f d = lim f ξ Δ = lim f ξ Δ = f d R < 5. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на [ ; ] функций f1( ), f2( ). f ( ) равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых ( ± ± ± ) = ± ± ± f1 f 2. f d f1 d f2 d. f d Доказательство этого свойства аналогично, доказательству предыдущего свойства. Замечание Свойства 4 и 5 называются свойствами линейности и для функции f ( ) ± f ( ) имеет место ( 1 1 ± 2 2) = 1 1 ± 2 2 f f d f d f d 178

2 179 6) (аддитивность определенного интеграла) Если существуют интегралы f ( ) d и f ( ) d, то существует также интеграл f ( ) d и для любых чисел,, f ( ) d = f ( ) d+ f d [ ; ] > Предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения отрезка на частичные отрезки и от выбора точек ξ. Это позволяет включить тоску с в число точек разбиения. Пусть = т.е. [ ; ] = [ ; ] [ ; ] = ([ ; 1] [ 1; 2]. [ m 1; m] ) ( [ m; m+ 1]. [ 1; ] ) Переходя к пределу при m ( ) ( ) ( ) f ξ Δ = f ξ Δ + f ξ Δ = 1 = 1 = m m < Δ >= λ 0, получаем f ( ) d = f ( ) d + f d < m. Тогда О с Геометрический смысл этого свойства состоит в том, что площадь криволинейной трапеции с основанием [;] равна сумме площадей криволинейных трапеций с основаниями [;] и [;]. 7) Если f( ) 0 [ ; ],то 0, < f d > ( ξ ) 0 Δ 0 ( ) Так как f и то интегральная сумма f ξ Δ 0 переходя к пределу получаем неравенство def ( ξ) Δ 0 = lim λ 1 f = f d 0 = 1 179

3 180 8) (монотонность определенного интеграла) Если интегрируемые функции f( ) и ϕ( ) удовлетворяют неравенству f ( ) ϕ ( ) [ ; ], то Так как f 0 [ ; f d ϕ d ϕ ] то согласно свойствам 5 и 7 ( f ( ) ϕ( ) ) d = f ( ) d ϕ( ) d 0 f ( ) d ϕ d О Геометрическая интерпретация данного свойства так как на отрезке [;] выполняется неравенство f ( ) ϕ( ), то площадь криволинейной трапеции A 2 B 2 не меньше площади криволинейной трапеции A 1 B 1. Замечание так как f( ) f( ) f( ) то f d f d f d f d f d 9) (об оценке определенного интеграла) Если m и М соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f( ), непрерывной на отрезке [ ] ;, то m ( ) f( d ) M( ), < (2) > По условию m f ( ) M [ ; ]. Применяя свойство 8 к этим неравенствам, получаем m d f d M d m f d M D E 180

4 181 Геометрическая интерпретация: площадь криволинейной трапеции [AB] заключена между площадями прямоугольников [DE] и [CF]. 10) (Теорема о среднем) Если функция ;, что существует такая точка ξ [ ] f d = f ( ξ ) f непрерывна на отрезке [ ] ;, то т.е. определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной функции ξ отрезка интегрирования на длину этого отрезка. > Известно. что непрерывная функция f( ) на отрезке [ ; ] достигает своего наибольшего и наименьшего значений, т.е. m f( ) M, откуда на основании свойства 9 получаем m ( ) f( d ) M( ), разделив все части последнего неравенства на > 0, получаем m f d M f ( ) d Другими словами число λ = находится между наименьшим и наибольшими ( ) значениями функции f( ). Поскольку непрерывная на отрезке [ ; ] функция f( ) принимает все промежуточные значения, лежащие между m и M, в том числе и значение λ, то существует такое ξ, такое что f ξ = λ. Значит [ ; ] 181

5 182 f ξ = откуда Число значением функции f f d f ( ) d = f( ξ )( ). < f ξ, определяемое по формуле (3), называется на отрезке [ ] ;. (3) интегральным средним О На рисунке дана геометрическая интерпретация свойства 10 в случае, когда f( ) > 0 [ ; ]. Так как значение f( ξ)( ) численно равно площади прямоугольника с основанием ( ) и высотой f ( ξ ), то теорема о среднем утверждает, что существует прямоугольник, равновеликий криволинейной трапеции. 5 Определенный интеграл с переменным верхним пределом интернирования Оставим нижний предел интегрирования неизменным, а верхний будем изменять, так чтобы [ ; ], тогда величина интеграла будет изменяться. Интеграл вида f t dt = () Φ, [ ; ] называется определенным интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела. В последнем равенстве переменная интегрирования обозначена за t. С геометрической точки зрения, функция Φ( ) в случае f() t 0 представляет собой площадь криволинейной трапеции. B 182

6 183 Найдем производную от Φ( ) по х, т.е. производную от определенного инте- по верхнему пределу грала Теорема 4 (Барроу) Производная определенного интеграла от непрерывной функции f( ) по его переменному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функции, в которой вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела: = Φ f t dt = f > Возьмем любую точку [ ; ] и придадим ей приращение Δ так, чтобы + Δ ;. Тогда [ ] ΔΦ( ) = Φ( + Δ) Φ( ) = f() t dt f() t dt. Используем аддитивность определенного интеграла Применим теорему о среднем [ ] + Δ ΔΦ = f tdt+ f tdt f tdt= f tdt. где ξ ; + Δ. Если Δ 0 то + Δ ξ. В силу непрерывности функции f( ) на отезке [ ; ] f( ξ) f( ). По определению производной р ΔΦ( ) f( ξ) Δ Φ ( ) = lim = lim = lim f( ξ) = f( ). < Δ 0 Δ Δ 0 Δ Δ 0 + Δ + Δ () () () + Δ Φ Δ Φ f t dt f ξ Δ, ( + ) = = ( ξ ) () 183

ЛЕКЦИЯ N4. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема о среднем..свойства определенного интеграла. теорема о среднем значении. производная интеграла по переменной верхней