Уравнение плоскости – общее, через точку, в отрезках. Угол между двумя плоскостями и расстояние от точки до плоскости

При построении плоскости в пространстве можно использовать аналогии для прямой линии на плоскости. Также можно утверждать, что между множеством всех плоскостей пространства и множеством линейных уравнений относительно трёх переменных x, y, z однозначно существует соответствие. Об этом и поговорим.

Уравнение плоскости через точку и нормальный вектор. Общее уравнение плоскости

Рассмотрим уравнение плоскости через точку на примере, так как будет более понятно, чем определения и термины.

Пусть в пространстве задана точка и ненулевой вектор . Через точку можно провести единственную плоскость перпендикулярно вектору . Чтобы получить уравнение плоскости, выберем на ней произвольную точку и рассмотрим вектор (см. рис. 1)

Точка тогда и только тогда, когда

– уравнение плоскости, которая проходит через данную точку с нормальным вектором.

Открыв скобки в (1) у нас получается:

– это общее уравнение плоскости, где обозначено: .

Значит, плоскости отвечает линейное уравнение (2). Наоборот, если задано линейное уравнение вида (2), тогда нетрудно найти точку , координаты которой удовлетворяют это уравнение, и записать вектор Вектор и точка определяют плоскость .

Исследование общего уравнения плоскостей

Рассматриваются частные случаи размещения плоскостей:

когда некоторые из чисел равняются нулю.

1. Если , тогда уравнение выглядит так: , плоскость проходит через начало координат перпендикулярно вектору .

2. Если , тогда у нас получается уравнение , вектор принадлежит плоскости . Так как плоскость , или же (см. рис. 2). Уравнения плоскости – это уравнение следа в плоскости .

3. Если же , тогда плоскость проходит через ось .

4. Если же , тогда уравнение плоскости выглядит так: , принадлежит плоскости . Плоскость (см. рис. 3)

5. Если же , тогда плоскость проходит через всю ось .

6. Если , тогда получается уравнение , , или .

7. Если же , тогда плоскость проходит через ось .

Вывод:

На основании 2, 4 и 6 получается, что плоскость параллельна той координатной оси, переменная которой в уравнении отсутствует.

8. , плоскость , либо же , где . Вектор = направленный вдоль оси , поэтому плоскость перпендикулярна к оси в точке

В частности, если , тогда – уравнение координатной плоскости .

9. Если , тогда у нас есть плоскость , либо , где . Вектор направляющий вдоль оси . Плоскость перпендикулярна оси в точке .

В частности, если , тогда – уравнение координатной плоскости .

10. На конец, если , тогда , где

При получается – уравнение координатной плоскости .

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Уравнение плоскости в отрезках

Прежде чем записывать уравнение плоскости в отрезках, вспомним общее уравнение:

если ни одно из чисел не равняется нулю, тогда плоскость можно построить за тремя точками пересечения её с координатными осями:

, , , где , , – отрезки, которые отсекают плоскость на координатных осях (см. рис. 4)

Уравнение плоскости в отрезках запишется:

Аналогично и до остальных следов.

Уравнение плоскости проходящей через три точки

Пусть заданы три точки , которые не лежат на одной линии. Произвольная точка отлична от , будет находиться в плоскости точек тогда, и только тогда, когда векторы = ,

компланарные, то есть их смешанное произведение x

В координатной форме запишется:

– уравнение плоскости проходящее через три точки.

Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

Если для однозначности угол между двумя плоскостями называть один из меньших двугранных углов между ними, а соответственно к этому самый маленький из углов назовём углом между двумя векторами, тогда между двумя плоскостями есть угол между их нормальными векторами.

где , – нормальные векторы плоскости

– условие перпендикулярности двух плоскостей.

Когда же , тогда получим:

– условие параллельности двух плоскостей.

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости рассмотрим при помощи примера, формул и рисунка.

Расстояние от точки до плоскости , выражается формулой:

Действительно, на рисунке 6:

видим, что для произвольной точки

потому что , а , тогда формула (5) доказана.

Примеры задач по уравнению плоскости

Чтобы ещё лучше понять вышеописанную тему, необходимо решить много задач. Поэтому предлагаем вам ознакомиться с примерами и их решениями.

Задача

Даны точки и . Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку и перпендикулярна к вектору .

Решение

По условию вектор – это нормальный вектор плоскости. Найдём его координаты.

Подставляя в уравнение (1) , а также

У нас получается:

Задача

Построить плоскость и записать её уравнение в отрезках, а также уравнение следов на соответствующих координатных плоскостях.

Решение:

Положим , тогда . Аналогично при находим , при , , тогда уравнение в отрезках запишется:

Задача

Составить уравнение и построить плоскость, которая проходит через точки

Решение

Плоскость параллельна (рис. 8)

Задача

Найти угол между плоскостями и

Решение

Подставим в формулу вычисления угла между плоскостями соответствующие коэффициенты:

Вы заметили, что в этом примере мы воспользовались исключительно одной формулой? В нашем случае – (5) формула. Никаких других формул мы не использовали и смогли найти угол между двумя плоскостями.