Прототипы заданий ОГЭ 2017 года (9 класс)

№ 340237. На сто­ро­не AB тре­уголь­ни­ка ABC взята точка D так, что окруж­ность, про­хо­дя­щая через точки A, C и D , ка­са­ет­ся пря­мой BC . Най­ди­те AD , если AC = 12, BC = 18 и CD = 8.

Про­ведём по­стро­е­ния и введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Угол, об­ра­зо­ван­ный ка­са­тель­ной и хор­дой равен по­ло­ви­не дуги, ко­то­рую он за­клю­ча­ет, по­это­му угол равен по­ло­ви­не дуги Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, по­это­му угол равен по­ло­ви­не дуги Сле­до­ва­тель­но, углы и равны. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и углы и равны, угол — общий, зна­чит, тре­уголь­ни­ки по­доб­ны. От­ку­да Зна­чит, и Таким об­ра­зом

№ 311970. В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD бо­ко­вые сто­ро­ны равны мень­ше­му ос­но­ва­нию BC . К диа­го­на­лям тра­пе­ции про­ве­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры BH и CE . Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка BCEH , если пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 36 .

№ 314990. Ос­но­ва­ние AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равно 10. Окруж­ность ра­ди­у­са 9 с цен­тром вне этого тре­уголь­ни­ка ка­са­ет­ся про­дол­же­ния бо­ко­вых сто­рон тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния AC в его се­ре­ди­не. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC .

Введём обо­зна­че­ния, при­ведённые на ри­сун­ке. Лучи и — со­от­вет­ствен­но бис­сек­три­сы углов и , по­сколь­ку эти лучи про­хо­дят через цен­тры впи­сан­ных окруж­но­стей. — се­ре­ди­на ос­но­ва­ния сле­до­ва­тель­но Углы и равны друг другу, как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и — они пря­мо­уголь­ные и имеют рав­ные углы и , сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны:

№ 339435. В тре­уголь­ни­ке ABC бис­сек­три­са BE и ме­ди­а­на AD пер­пен­ди­ку­ляр­ны и имеют оди­на­ко­вую длину, рав­ную 208. Най­ди­те сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC .

Пусть — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков и (см. рис.). Тре­уголь­ник — рав­но­бед­рен­ный, так как его бис­сек­три­са яв­ля­ет­ся вы­со­той. По­это­му

Про­ведём через вер­ши­ну пря­мую, па­рал­лель­ную . Пусть — точка пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с про­дол­же­ни­ем ме­ди­а­ны . Тогда

Тре­уголь­ни­ки и равны: они пря­мо­уголь­ные, углы и равны, сто­ро­на — общая. Тогда и За­ме­тим далее, что а тогда Бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка делит сто­ро­ну, к ко­то­рой она про­ве­де­на, на от-резки про­пор­ци­о­наль­ные при­ле­жа­щим сто­ро­нам, по­это­му от­ку­да Найдём и

Тре­уголь­ни­ки и равны: углы и равны, — общая сто­ро­на, по­это­му Ме­ди­а­на тре-уголь­ни­ка делит его на два рав­но­ве­ли­ких, по­это­му спра­вед­ли­во ра­вен­ство: Тем самым, На­ко­нец, пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка от­ку­да

Пло­щадь вы­пук­ло­го четырёхуголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния длин диаго-налей на синус угла между ними, по­это­му:

Длину найдём по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка

Длину найдём по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из пря­мо­уголь­но­го тре-уголь­ни­ка тогда:

№ 314944. Ос­но­ва­ние AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равно 16. Окруж­ность ра­ди­у­са 12 с цен­тром вне этого тре­уголь­ни­ка ка­са­ет­ся про­дол­же­ния бо­ко­вых сто­рон тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния AC в его се­ре­ди­не. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC .

Введём обо­зна­че­ния, при­ведённые на ри­сун­ке. Лучи и — со­от­вет­ствен­но бис­сек­три­сы углов и , по­сколь­ку эти лучи про­хо­дят через цен­тры впи­сан­ных окруж­но­стей. — се­ре­ди­на ос­но­ва­ния сле­до­ва­тель­но Углы и равны друг другу, как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и — они пря­мо­уголь­ные и имеют рав­ные углы и , сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны:

№ 311713. В тре­уголь­ни­ке бис­сек­три­са угла делит вы­со­ту, про­ведённую из вер­ши­ны , в от­но­ше­нии , счи­тая от точки . Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка , если .

Обо­зна­чим вы­со­ту, про­ведённую из вер­ши­ны . Бис­сек­три­са, про­ведённая из угла , делит вы­со­ту в от­но­ше­нии, рав­но­му от­но­ше­нию и . Зна­чит , по­это­му . По тео­ре­ме си­ну­сов ра­ди­ус опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти

№ 314990. Ос­но­ва­ние AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равно 10. Окруж­ность ра­ди­у­са 9 с цен­тром вне этого тре­уголь­ни­ка ка­са­ет­ся про­дол­же­ния бо­ко­вых сто­рон тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния AC в его се­ре­ди­не. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC .

Введём обо­зна­че­ния, при­ведённые на ри­сун­ке. Лучи и — со­от­вет­ствен­но бис­сек­три­сы углов и , по­сколь­ку эти лучи про­хо­дят через цен­тры впи­сан­ных окруж­но­стей. — се­ре­ди­на ос­но­ва­ния сле­до­ва­тель­но Углы и равны друг другу, как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и — они пря­мо­уголь­ные и имеют рав­ные углы и , сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны:

№ 208. Через се­ре­ди­ну K ме­ди­а­ны BM тре­уголь­ни­ка ABC и вер­ши­ну A про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ну BC в точке P. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка KPCM к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AMK .

Про­ведём от­ре­зок MT , па­рал­лель­ный AP . Тогда MT — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка APC и CT = TP , а KP — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BMT и TP = BP . Обо­зна­чим пло­щадь тре­уголь­ни­ка BKP через . Тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка KPС , име­ю­ще­го ту же вы­со­ту и вдвое боль­ше ос­но­ва­ние, равна . Зна­чит пло­щадь тре­уголь­ни­ка CKB равна и равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка СMK , ко­то­рая в свою оче­редь равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AMK . Пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВК равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка АМК . Итак, Зна­чит,

№ 311702. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке катет равен 8, катет равен 15. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, ко­то­рая про­хо­дит через концы ги­по­те­ну­зы тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся пря­мой .

По усло­вию окруж­ность про­хо­дит через точку и это един­ствен­ная общая точка окруж­но­сти и пря­мой . Сле­до­ва­тель­но, ра­ди­ус окруж­но­сти пер­пен­ди­ку­ля­рен пря­мой . По­это­му пря­мые и па­рал­лель­ны. Центр окруж­но­сти рав­но­уда­лен от точек и , сле­до­ва­тель­но, он лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к . Обо­зна­чим се­ре­ди­ну бук­вой .

— это на­крест ле­жа­щие углы при па­рал­лель­ных пря­мых и се­ку­щей .

№ 156. Ме­ди­а­на BM тре­уголь­ни­ка ABC яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ю­щей сто­ро­ну BC в её се­ре­ди­не. Длина сто­ро­ны AC равна 4. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC .

Ме­ди­а­на BM делит AC по­по­лам. Центр окруж­но­сти лежит на се­ре­ди­не ме­ди­а­ны BM, тогда ON - сред­няя линия в тре­уголь­ни­ке BMC, где O - центр окруж­но­сти, а N - точка пе­ре­се­че­ния этой окруж­но­сти сто­ро­ны BC. Сред­няя линия в тре­уголь­ни­ке равна по­ло­ви­не ос­но­ва­ния, по­это­му ON=1. Сред­няя линия ON яв­ля­ет­ся ра­ди­у­сом окруж­но­сти. Так как ме­ди­а­на BM яв­ля­ет­ся диа­мет­ром, то BM=2ON=2. Про­ве­дем MN в тре­уголь­ни­ке BMC. Так как угол BNM опи­ра­ет­ся на диа­метр BM, то , таким об­ра­зом, тре­уголь­ник BNM- пря­мо­уголь­ный. Так как MN- сред­няя линия, то она па­рал­лель­на AB, тогда тре­уголь­ник ABC - пря­мо­уголь­ный. Центр опи­сан­ной во­круг пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти лежит на се­ре­ди­не ги­по­те­ну­зы, таким об­ра­зом, ра­ди­ус опи­сан­ной во­круг тре­уголь­ни­ка ABC окруж­но­сти равен 2.

№ 314941. Ос­но­ва­ние AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равно 18. Окруж­ность ра­ди­у­са 12 с цен­тром вне этого тре­уголь­ни­ка ка­са­ет­ся про­дол­же­ния бо­ко­вых сто­рон тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния AC в его се­ре­ди­не. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC .

Введём обо­зна­че­ния, при­ведённые на ри­сун­ке. Лучи и — со­от­вет­ствен­но бис­сек­три­сы углов и , по­сколь­ку эти лучи про­хо­дят через цен­тры впи­сан­ных окруж­но­стей. — се­ре­ди­на ос­но­ва­ния сле­до­ва­тель­но Углы и равны друг другу, как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и — они пря­мо­уголь­ные и имеют рав­ные углы и , сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны:

№ 314862. Из вер­ши­ны пря­мо­го угла C тре­уголь­ни­ка ABC про­ве­де­на вы­со­та CP . Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ACP , равен 4, тан­генс угла BAC равен 0,75. Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC .

Пусть — тогда равно и, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, ги­по­те­ну­за —

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как про­из­ве­де­ние его по­лу­пе­ри­мет­ра на ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти, для пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка также можно найти пло­щадь, как по­лу­про­из­ве­де­ние ка­те­тов. При­рав­няв эти вы­ра­же­ния, со­ста­вим урав­не­ние:

Ко­рень ноль не под­хо­дит нам по усло­вию за­да­чи. Сле­до­ва­тель­но Найдём из тре­уголь­ни­ка

Найдём по тео­рем Пи­фа­го­ра:

Ана­ло­гич­но в тре­уголь­ни­ке можно найти пло­щадь двумя спо­со­ба­ми. Со­ста­вим урав­не­ние и найдём ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник

№ 340323. Окруж­но­сти ра­ди­у­сов 25 и 100 ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом. Точки A и B лежат на пер­вой окруж­но­сти, точки C и D — на вто­рой. При этом AC и BD — общие ка­са­тель­ные окруж­но­стей. Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB и CD .

Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Про­ведём пря­мую па­рал­лель­ную Пря­мая — ка­са­тель­ная к обеим окруж­но­стям по­это­му ра­ди­у­сы и пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мой от­ку­да за­клю­ча­ем, что от­ку­да Рас­смот­рим четырёхуголь­ник сле­до­ва­тель­но, — па­рал­ле­ло­грамм, от­ку­да Зна­чит, Также за­ме­тим, что Углы и равны, как со­от­вет­ствен­ные углы при па­рал­лель­ных пря­мых. Из тре­уголь­ни­ка

№ 314992. На ри­сун­ке изоб­ражён ко­ло­дец с «жу­равлём». Ко­рот­кое плечо имеет длину 1 м, а длин­ное плечо — 3 м. На сколь­ко мет­ров опу­стит­ся конец длин­но­го плеча, когда конец ко­рот­ко­го под­ни­мет­ся на 0,5 м?

Введём обо­зна­че­ния, при­ведённые на ри­сун­ке. Здесь — плечи "жу­рав­ля" до опус­ка­ния, — после, — вы­со­та, на ко­то­рую под­нял­ся конец ко­рот­ко­го плеча, — вы­со­та, на ко­то­рую опу­стил­ся конец длин­но­го. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и углы и равны, как вер­ти­каль­ные, сле­до­ва­тель­но равны и углы при ос­но­ва­ни­ях:

Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки и по­доб­ны по двум углам, то есть

Рас­смот­ри пря­мые и их пе­ре­се­ка­ет се­ку­щая углы, обо­зна­чен­ные на ри­сун­ке 1 и 2 на­крест ле­жа­щие и равны друг другу, сле­до­ва­тель­но пря­мые и па­рал­лель­ны. Сто­ро­ны углов 3 и 4 па­рал­лель­ны друг другу, сле­до­ва­тель­но они равны.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и они пря­мо­уголь­ные, имеют рав­ные углы, сле­до­ва­тель­но они по­доб­ны, зна­чит:

Можно при­ве­сти не­сколь­ко иное до­ка­за­тель­ство по­до­бия тре­уголь­ни­ков и . На при­ведённой ниже кар­тин­ке есть два ма­лень­ких тре­уголь­ни­ка обо­зна­чен­ные и , они пря­мо­уголь­ные и одна пара углов равна друг другу как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых, сле­до­ва­тель­но они по­доб­ны.

Затем, можно за­ме­тить, что у тре­уголь­ни­ков и со­от­вет­ствен­ные углы, не важно какие, равны друг другу, по­то­му что их сто­ро­ны па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки по­доб­ны. Ана­ло­гич­но с тре­уголь­ни­ка­ми и Из трёх пар по­до­бий этих тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что тре­уголь­ни­ки и по­доб­ны.

№ 314847. Ме­ди­а­на BM тре­уголь­ни­ка ABC яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ю­щей сто­ро­ну BC в её се­ре­ди­не. Длина сто­ро­ны AC равна 4. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC .

Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим тре­уголь­ник — он рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, . Ана­ло­гич­но в тре­уголь­ни­ке имеем: Те­перь рас­смот­рим тре­уголь­ник : сумма его углов равна 180°, по­это­му

По­сколь­ку кроме этого имеем:

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и они пря­мо­уголь­ные, имеют общий катет и равно сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит, .

Точка от­сто­ит на рав­ное рас­сто­я­ние от всех трёх вер­шин тре­уголь­ни­ка, , сле­до­ва­тель­но, точка — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка . Ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти

Название документа Прототипы задания 23.doc

Прототипы задания № 23

№ 338249. По­строй­те гра­фик функ­ции и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях пря­мая имеет с гра­фи­ком не менее одной, но не более трёх общих точек.

Рас­кры­вая мо­дуль, по­лу­чим, что функ­цию можно пред­ста­вить сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Этот гра­фик изоб­ражён на ри­сун­ке:

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая имеет с гра­фи­ком функ­ции не менее одной точки пе­ре­се­че­ния при при­над­ле­жа­щем про­ме­жут­ку

№ 338288. По­строй­те гра­фик функ­ции И опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях пря­мая имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку.

Этот гра­фик изоб­ражён на ри­сун­ке:

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая имеет с гра­фи­ком функ­ции ровно одну общую точку при и

№ 314407. При каких зна­че­ни­ях вер­ши­ны па­ра­бол и рас­по­ло­же­ны по раз­ные сто­ро­ны от оси ?

Ко­ор­ди­на­та вер­ши­ны па­ра­бо­лы опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле Ко­ор­ди­на­та вер­ши­ны на­хо­дит­ся под­ста­нов­кой в урав­не­ние па­ра­бо­лы. Вер­ши­ны па­ра­бол будут на­хо­дит­ся по раз­ные сто­ро­ны от оси , если ко­ор­ди­на­ты их вер­шин имеют раз­ные знаки. Вспом­нив, что два со­мно­жи­те­ля имеют раз­ный знак тогда и толь­ко тогда, когда их про­из­ве­де­ние от­ри­ца­тель­но, со­ста­вим и решим не­ра­вен­ство:

За­ме­тим, что пер­вый мно­жи­тель все­гда боль­ше нуля, по­это­му на него можно раз­де­лить.

Про­из­ве­де­ние двух со­мно­жи­те­лей будет боль­ше нуля, если со­мно­жи­те­ли имеют оди­на­к­вый знак (см. ри­су­нок). Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем ответ:

№ 338249. По­строй­те гра­фик функ­ции и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях пря­мая имеет с гра­фи­ком не менее одной, но не более трёх общих точек.

Рас­кры­вая мо­дуль, по­лу­чим, что функ­цию можно пред­ста­вить сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Этот гра­фик изоб­ражён на ри­сун­ке:

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая имеет с гра­фи­ком функ­ции не менее одной точки пе­ре­се­че­ния при при­над­ле­жа­щем про­ме­жут­ку

№ 314801. При каких по­ло­жи­тель­ных зна­че­ни­ях пря­мая имеет с па­ра­бо­лой ровно одну общую точку? Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты этой точки и по­строй­те дан­ные гра­фи­ки в одной си­сте­ме ко­ор­ди­нат.

Гра­фи­ки функ­ций, будут иметь ровно одну точку пе­ре­се­че­ния, если это урав­не­ние имеет ровно одно ре­ше­ние. То есть, если дис­кри­ми­нант этого квад­рат­но­го урав­не­ния будет равен нулю.

По усло­вию по­это­му нам под­хо­дит зна­че­ние

Под­ста­вив па­ра­метр в урав­не­ние, найдём ко­ор­ди­на­ту точки пе­ре­се­че­ния этих функ­ций:

Те­перь, зная можем по­стро­ить гра­фи­ки обеих функ­ций (см. ри­су­нок).

№ 314446. При каких зна­че­ни­ях вер­ши­ны па­ра­бол и рас­по­ло­же­ны по одну сто­ро­ну от оси ?

Ко­ор­ди­на­та вер­ши­ны па­ра­бо­лы опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле Ко­ор­ди­на­та вер­ши­ны на­хо­дит­ся под­ста­нов­кой в урав­не­ние па­ра­бо­лы. Вер­ши­ны па­ра­бол будут на­хо­дит­ся по одну сто­ро­ну от оси , если ко­ор­ди­на­ты их вер­шин имеют оди­на­ко­вые знаки. Вспом­нив, что два со­мно­жи­те­ля имеют оди­на­ко­вый знак тогда и толь­ко тогда, когда их про­из­ве­де­ние по­ло­жи­тель­но, со­ста­вим и решим не­ра­вен­ство:

За­ме­тим, что вто­рой мно­жи­тель все­гда боль­ше нуля, по­это­му на него можно раз­де­лить.

Про­из­ве­де­ние двух со­мно­жи­те­лей будет мень­ше нуля, если со­мно­жи­те­ли имеют раз­ный знак (см. ри­су­нок). Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем ответ:

№ 314727. Из­вест­но, что гра­фи­ки функ­ций и имеют ровно одну общую точку. Опре­де­ли­те ко­ор­ди­на­ты этой точки. По­строй­те гра­фи­ки за­дан­ных функ­ций в одной си­сте­ме ко­ор­ди­нат.

Гра­фи­ки функ­ций, будут иметь ровно одну точку пе­ре­се­че­ния, если это урав­не­ние имеет ровно одно ре­ше­ние. То есть, если дис­кри­ми­нант этого квад­рат­но­го урав­не­ния будет равен нулю.

Под­ста­вив па­ра­метр в урав­не­ние, найдём ко­ор­ди­на­ту точки пе­ре­се­че­ния этих функ­ций:

Те­перь, зная можем по­стро­ить гра­фи­ки обеих функ­ций (см. ри­су­нок).

№ 314715. По­строй­те гра­фик функ­ции и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях пря­мая имеет с гра­фи­ком ровно три общие точки.

Рас­кры­вая мо­дуль, по­лу­чим, что гра­фик функ­ции можно пред­ста­вить сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Этот гра­фик изоб­ражён на ри­сун­ке:

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая имеет с гра­фи­ком функ­ции ровно три общие точки при и

№ 314409. Па­ра­бо­ла про­хо­дит через точки A (0; 6), B (6; –6), C (1; 9). Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты её вер­ши­ны.

Одна из воз­мож­ных форм за­пи­си урав­не­ния па­ра­бо­лы в общем виде вы­гля­дит так: Ко­ор­ди­на­та вер­ши­ны па­ра­бо­лы на­хо­дит­ся по фор­му­ле Ко­ор­ди­на­ту вер­ши­ны па­ра­бо­лы найдётся под­ста­нов­кой в урав­не­ние па­ра­бо­лы. Таким об­ра­зом, за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ко­эф­фи­ци­ен­тов и Под­ста­вив ко­ор­ди­на­ты точек, через ко­то­рые про­хо­дит па­ра­бо­ла, в урав­не­ние па­ра­бо­лы и по­лу­чим си­сте­му из трёх урав­не­ний:

№ 338207. По­строй­те гра­фик функ­ции и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях пря­мая имеет с гра­фи­ком ровно две общие точки.

Таким об­ра­зом, по­лу­чи­ли, что гра­фик нашей функ­ции сво­дит­ся к гра­фи­ку функ­ции с вы­ко­ло­тыми точ­ками и По­стро­им гра­фик функ­ции (см. ри­су­нок).

Этот гра­фик изоб­ражён на ри­сун­ке:

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая имеет с гра­фи­ком функ­ции ровно две общие точки при при­над­ле­жа­щем про­ме­жут­ку

№ 314761. По­строй­те гра­фик функ­ции

и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях пря­мая будет пе­ре­се­кать по­стро­ен­ный гра­фик в трёх точ­ках.

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая будет иметь с гра­фи­ком функ­ции ровно три точки пе­ре­се­че­ния при при­над­ле­жа­щем мно­же­ству:

№ 333156. По­строй­те гра­фик функ­ции

и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях m пря­мая y = m имеет с гра­фи­ком ровно две общие точки.

По­стро­им гра­фик функ­ции при и гра­фик функ­ции при

Пря­мая имеет с гра­фи­ком ровно две общие точки при и

Название документа Прототип задания 19.doc

Прототип задания № 19

№ 315135. Де­вя­ти­класс­ни­ки Петя, Катя, Ваня, Даша и На­та­ша бро­си­ли жре­бий, кому на­чи­нать игру. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на­чи­нать игру долж­на будет де­воч­ка.

Из пя­те­рых детей — де­во­чек трое. По­это­му ве­ро­ят­ность равна

№ 325496. Иг­раль­ную кость бро­са­ют два­жды. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что сумма двух вы­пав­ших чисел не­чет­на.

При бро­са­нии ку­би­ка два­жды рав­но­воз­мож­ны 6 · 6 = 36 раз­лич­ных ис­хо­дов. Сумма нечётна, если на пер­вом ку­би­ке вы­па­да­ет нечётное число, а на вто­ром вы­па­да­ет чётное число, этому со­от­вет­ству­ет 3 · 3 = 9 ис­хо­дов. Либо, если на­о­бо­рот, на пер­вом ку­би­ке вы­па­да­ет чётное число, а на вто­ром вы­па­да­ет нечётное число, этому со­от­вет­ству­ет 3 · 3 = 9 ис­хо­дов. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что сумма двух вы­пав­ших чисел нечётна равна

№ 311501. На эк­за­ме­не 25 би­ле­тов, Сер­гей не вы­учил 3 из них. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ему попадётся вы­учен­ный билет.

Сер­гей вы­учил 25 − 3 = 22 би­ле­та. Таким об­ра­зом ве­ро­ят­ность того, что ему попадётся вы­учен­ный билет равна

№ 311493. В лыж­ных гон­ках участ­ву­ют 13 спортс­ме­нов из Рос­сии, 2 спортс­ме­на из Нор­ве­гии и 5 спортс­ме­нов из Шве­ции. По­ря­док, в ко­то­ром спортс­ме­ны стар­ту­ют, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что пер­вым будет стар­то­вать спортс­мен не из Рос­сии.

Всего вы­сту­па­ет 13 + 2 + 5 = 20 спортс­ме­нов. Из них не из Рос­сии 7 спортс­ме­нов. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что пер­вым будет стар­то­вать спортс­мен не из Рос­сии равна

№ 311486. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ное на­ту­раль­ное число от 192 до 211 вклю­чи­тель­но де­лит­ся на 5?

Всего чисел - 20 штук. Из них 4 де­лят­ся на 5. Таким об­ра­зом,ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ное на­ту­раль­ное число от 192 до 211 вклю­чи­тель­но де­лит­ся на 5 равна 0,2.

№ 325460. Валя вы­би­ра­ет слу­чай­ное трех­знач­ное число. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что оно де­лит­ся на 51.

Всего трёхзнач­ных чисел 900 штук. Из трёхзнач­ных чисел, на 51 де­лит­ся каж­дое 51-ое число, на­чи­ная со 102. Из треёхзнач­ных чисел на 51 де­лит­ся По­это­му ве­ро­ят­ность того, что Валя вы­бра­ла число, де­ля­ще­е­ся на 51 равна

№ 132734. В фирме такси в дан­ный мо­мент сво­бод­но 20 машин: 9 чер­ных, 4 жел­тых и 7 зе­ле­ных. По вы­зо­ву вы­еха­ла одна из машин, слу­чай­но ока­зав­ша­я­ся ближе всего к за­каз­чи­ку. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к нему при­е­дет жел­тое такси.

Ве­ро­ят­ность того, что при­е­дет жел­тая ма­ши­на равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства жел­тых машин к об­ще­му ко­ли­че­ству машин:

№ 325480. Опре­де­ли­те ве­ро­ят­ность того, что при бро­са­нии ку­би­ка вы­па­ло число очков, не мень­шее 1.

Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

При бро­са­нии ку­би­ка все­гда вы­па­да­ет не мень­ше од­но­го очка, то есть ве­ро­ят­ность со­бы­тия «вы­па­дет число очков не мень­шее 1» равна од­но­му.

№ 311486. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ное на­ту­раль­ное число от 192 до 211 вклю­чи­тель­но де­лит­ся на 5?

Всего чисел - 20 штук. Из них 4 де­лят­ся на 5. Таким об­ра­зом,ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ное на­ту­раль­ное число от 192 до 211 вклю­чи­тель­но де­лит­ся на 5 равна 0,2.

№ 325494. Иг­раль­ную кость бро­са­ют два­жды. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что наи­мень­шее из двух вы­пав­ших чисел равно 2.

При бро­са­нии ку­би­ка два­жды рав­но­воз­мож­ны 6 · 6 = 36 раз­лич­ных ис­хо­дов. Число 2 будет наи­мень­шим из вы­пав­ших, если хотя бы один раз вы­па­да­ет 2 и ни разу — 1. То есть либо на пер­вом ку­би­ке долж­но вы­пасть 2 очка, а на вто­ром — любое число кроме 1, либо на­о­бо­рот, на вто­ром ку­би­ке долж­но вы­пасть 2, а на пер­вом — любое число кроме 1. Также не­об­хо­ди­мо пом­нить, что при таком подсчёте ва­ри­ант, когда на обоих ку­би­ках вы­па­да­ет двой­ка, мы учи­ты­ва­ем два­жды: 5 + 5 − 1 = 9. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что наи­мень­шее из двух вы­пав­ших чисел — 2 равна

№ 333152. Из 500 мо­ни­то­ров, по­сту­пив­ших в про­да­жу, в сред­нем 15 не ра­бо­та­ют. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный в ма­га­зи­не мо­ни­тор ра­бо­та­ет?

№ 311347. Для эк­за­ме­на под­го­то­ви­ли би­ле­ты с но­ме­ра­ми от 1 до 25. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что на­у­гад взя­тый уче­ни­ком билет имеет номер, яв­ля­ю­щий­ся дву­знач­ным чис­лом?

Всего было под­го­тов­ле­но 25 би­ле­тов. Среди них 16 дву­знач­ных. Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность взять билет с двух­знач­ным но­ме­ром равна

№ 311482. В сред­нем на 147 ис­прав­ных дре­лей при­хо­дят­ся три не­ис­прав­ные. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что вы­бран­ная дрель ис­прав­на.

Ко­ли­че­ство всех дре­лей равно 147 + 3 = 150. По­это­му, ве­ро­ят­ность того, что вы­бран­ная дрель ис­прав­на равна

№ 311490. На та­рел­ке лежат пи­рож­ки, оди­на­ко­вые на вид: 4 с мясом, 8 с ка­пу­стой и 3 с виш­ней. Петя на­у­гад вы­би­ра­ет один пи­ро­жок. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что пи­ро­жок ока­жет­ся с виш­ней.

Всего пи­рож­ков 4 + 8 + 3 = 15. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что вы­бран­ный пи­ро­жок ока­жет­ся с виш­ней равна

№ 315196. За­пи­сан рост (в сан­ти­мет­рах) пяти уча­щих­ся: 158, 166, 134, 130, 132. На сколь­ко от­ли­ча­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этого на­бо­ра чисел от его ме­ди­а­ны?

Упо­ря­до­чим дан­ный ряд: 130, 132, 134, 158, 166, сле­до­ва­тель­но, ме­ди­а­на равна 134. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское же будет равно

Раз­ни­ца между ме­ди­а­ной и сред­ним ариф­ме­ти­че­ским со­став­ля­ет 144 − 134 = 10.

Название документа Прототип задания15.doc

Прототип задания № 15

На гра­фи­ке изоб­ра­же­на за­ви­си­мость кру­тя­ще­го мо­мен­та дви­га­те­ля от числа его обо­ро­тов в ми­ну­ту. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся число обо­ро­тов в ми­ну­ту, на оси ор­ди­нат — кру­тя­щий мо­мент в Н·м. На сколь­ко Н·м уве­ли­чил­ся кру­тя­щий мо­мент, если число обо­ро­тов дви­га­те­ля воз­рос­ло с 1000 до 1500 обо­ро­тов в ми­ну­ту?

При 1000 обо­ро­тов в ми­ну­ту кру­тя­щий мо­мент был равен 20 Н·м, а при 1500 обо­ро­тах — 60 Н·м. По­это­му кру­тя­щий мо­мент уве­ли­чил­ся на 60 − 20 = 40 Н·м.

№ 311477. На гра­фи­ке изоб­ра­же­на за­ви­си­мость ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния (в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба) от вы­со­ты над уров­нем моря (в ки­ло­мет­рах).

На сколь­ко мил­ли­мет­ров ртут­но­го стол­бы от­ли­ча­ет­ся дав­ле­ние на вы­со­те 2 км от дав­ле­ния на вы­со­те 8 км?

Найдём раз­ность дав­ле­ния на вы­со­те 2 км и 8 км: 580-260 = 320 мм рт. ст.

№ 311401. При ра­бо­те фо­на­ри­ка ба­та­рей­ка по­сте­пен­но раз­ря­жа­ет­ся, и на­пря­же­ние в элек­три­че­ской цепи фо­на­ри­ка па­да­ет. На ри­сун­ке по­ка­за­на за­ви­си­мость на­пря­же­ния в цепи от вре­ме­ни ра­бо­ты фо­на­ри­ка. На го­ри­зон­таль­ной оси от­ме­ча­ет­ся время ра­бо­ты фо­на­ри­ка в часах, на вер­ти­каль­ной оси — на­пря­же­ние в воль­тах. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, на сколь­ко вольт упа­дет на­пря­же­ние за 15 часов ра­бо­ты фо­на­ри­ка.

По гра­фи­ку видно, что за 15 часов на­пря­же­ние упа­дет на 1,6 − 1 = 0,6 В.

№ 311508. В таб­ли­це при­ве­де­ны ре­зуль­та­ты двух по­лу­фи­наль­ных за­бе­гов на ди­стан­цию 60 м. В фи­наль­ном за­бе­ге 6 участ­ни­ков. Из каж­до­го по­лу­фи­на­ла в финал вы­хо­дят два спортс­ме­на, по­ка­зав­ших пер­вый и вто­рой ре­зуль­та­ты. К ним до­бав­ля­ют еще двух спортс­ме­нов, по­ка­зав­ших луч­шее время среди всех осталь­ных участ­ни­ков по­лу­фи­на­лов.

За­пи­ши­те в от­ве­те но­ме­ра спортс­ме­нов, не по­пав­ших в финал.

В пер­вом по­лу­фи­на­ле два луч­ших вре­ме­ни по­ка­за­ли спортс­ме­ны 1 и 4, во вто­ром — спортс­ме­ны 6 и 7. Среди всех осталь­ных участ­ни­ков по­лу­фи­на­ла два наи­луч­ших вре­ме­ни по­ка­за­ли спортс­ме­ны 5 и 8. Сле­до­ва­тель­но, в финал не по­па­дут спортс­ме­ны 2 и 3.

№ 322141. На ри­сун­ке по­ка­за­но, как из­ме­ня­лась тем­пе­ра­ту­ра на про­тя­же­нии одних суток. По го­ри­зон­та­ли ука­за­но время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Сколь­ко часов в пер­вой по­ло­ви­не дня тем­пе­ра­ту­ра пре­вы­ша­ла 25 °C?

Из гра­фи­ка видно, что в пер­вой по­ло­ви­не дня, то есть до 12:00, тем­пе­ра­ту­ра пре­вы­ша­ла 25 °C в те­че­ние трёх часов.

№ 146. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик из­ме­не­ния ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в го­ро­де Энске за три дня. По го­ри­зон­та­ли ука­за­ны дни не­де­ли, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ния ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба. Ука­жи­те наи­мень­шее зна­че­ние ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в среду.

Оче­вид­но, что ми­ни­маль­ное зна­че­ние дав­ле­ния в среду равно 752 мм рт. ст.

№ 311764. На ри­сун­ке по­ка­за­но, как из­ме­ня­лась тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха на про­тя­же­нии одних суток. По го­ри­зон­та­ли ука­за­но время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Из гра­фи­ка видно, что наи­боль­шая тем­пе­ра­ту­ра со­ста­ви­ла 8 °С.

№ 322037. Ан­дрей и Иван со­рев­но­ва­лись в 50-мет­ро­вом бас­сей­не на ди­стан­ции 100 м. Гра­фи­ки их за­плы­вов по­ка­за­ны на ри­сун­ке. По го­ри­зон­таль­ной оси от­ло­же­но время, а по вер­ти­каль­ной – рас­сто­я­ние плов­ца от стар­та. Кто быст­рее про­плыл первую по­ло­ви­ну ди­стан­ции? В от­ве­те за­пи­ши­те, на сколь­ко се­кунд быст­рее он про­плыл первую по­ло­ви­ну ди­стан­ции.

Из гра­фи­ка видно, что Ан­дрей быст­рее про­плыл первую по­ло­ви­ну ди­стан­ции за 40 с, а Иван за 60 с. Таким об­ра­зом, Ан­дрей про­плыл первую по­ло­ви­ну ди­стан­ции на 80 − 60 = 20 с быст­рее.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик по­ле­та тела, бро­шен­но­го под углом к го­ри­зон­ту. По вер­ти­каль­ной оси от­кла­ды­ва­ет­ся рас­сто­я­ние от земли (в м), по го­ри­зон­таль­ной оси — прой­ден­ный путь (в м). По ри­сун­ку опре­де­ли­те, на какой вы­со­те будет на­хо­дить­ся тело в мо­мент вре­ме­ни, когда оно про­ле­тит 60 мет­ров.

По гра­фи­ку видно, что когда тело про­ле­тит 60 мет­ров, оно будет на­хо­дить­ся на вы­со­те 2 м.

№ 314672. На гра­фи­ке изоб­ра­же­на за­ви­си­мость ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния (в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба) от вы­со­ты мест­но­сти над уров­нем моря (в ки­ло­мет­рах). На сколь­ко мил­ли­мет­ров ртут­но­го стол­ба ат­мо­сфер­ное дав­ле­ние на вы­со­те Эве­ре­ста ниже ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния на вы­со­те Боль­шо­го Ше­ло­ма?

Из гра­фи­ка видно, что дав­ле­ние на вы­со­те Эве­ре­ста мень­ше дав­ле­ния на вы­со­те Боль­шо­го Ше­ло­ма на 380 мм. рт. ст.