Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона его к плоскостям проекций

Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона его к плоскостям проекций

На рис. 2.7 видно, что натуральная величина отрезка ВС прямой общего положения является гипотенузой прямоугольного треугольника ВС – 1. В этом треугольнике один катет В – 1 параллелен плоскости π, и равен по длине горизонтальной проекции отрезка ВС , а величина второго катета равна разности расстояний точек Си В до плоскости проекций

Построения на чертеже для определения натуральной величины отрезка ВС прямой общего положения приведены на рис. 2.8. В качестве одного катета принята горизонтальная проекция , длина другого катета :. Длина гипотенузы равна длине отрезка

Другое построение выполнено на фронтальной проекции. Проекция отрезка взята за один катет прямоугольного треугольника. Длина другого катета равна разности расстояний от концов отрезка до плоскости : Длина гипотенузы равна длине отрезка ВС (| ВС" = ВС |).

Итак, натуральную величину отрезка определяют как гипотенузу прямоугольного треугольника, одним из катетов которого является горизонтальная (фронтальная) проекция отрезка, другим – разность координат концов отрезка до горизонтальной (фронтальной) плоскости проекций.

Угол между прямой линией и плоскостью проекций определяется как угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. На рис. 2.7 таким углом между прямой ВС и плоскостью является угол . Угол α равен углу СВ – 1, так как одна сторона МС – общая, а две другие В – 1 и МС– параллельны.

Величину угла а определяют из того же треугольника СВ – 1, что и натуральную величину отрезка ВС. На рис. 2.8 показано, что Угол β наклона прямой к фронтальной плоскости проекций определяется из треугольника , построенного нафронтальной проекции отрезка:

Взаимное положение прямых

Пересекающиеся прямые. Наглядное изображение двух прямых ΑΒ и CD, пересекающихся в точке К, приведено на рис. 2.9, их чертеж в системе π2, π, – на рис. 2.10.

Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой, а проекции точек пересечения лежат на одной линии связи.

Для прямых, кроме профильных, в системе π2, π,, справедливо и обратное утверждение: если в системе π2, π, точки пересечения одноименных проекций прямых, кроме профильных, лежат на одной линии связи, то прямые пересекаются.

Если в системе π2, π, одна из рассматриваемых прямых профильная, то чтобы ответить на вопрос, пересекаются ли прямые, следует построить их профильные проекции.

Примеры чертежей пересекающихся и непересекающихся (скрещивающихся) прямых, из которых одна – с проекциями А "В", А 'В А '"В – профильная, показаны на рис. 2.11 и 2.12.

На рис. 2.11 все три проекции А-", К', А"'"точки Упрямой CD принадлежат и трем одноименным проекциям А "В ", А 'В' и А '"В прямой AB, т. е. прямые пересекаются.

На рис. 2.12 профильная проекция !'"точки /,прямой CD не принадлежит профильной проекции А "'В'", следовательно, прямые AB и CD не пересекаются (см. также рис. 2.6, а).

На рис 2.13 показаны прямые, две проекции которых пересекаются в одной точке, а две другие проекции сливаются в одну линию. Это означает, что обе прямые принадлежат плоскости а, перпендикулярной плоскости ∏! (рис. 2.14).

Частный случай ортогональной проекции двух взаимно перпендикулярных прямых, из которых одна параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, рассмотрен в § 1.3 (см. рис. 1.10).

Чертеж прямого угла ABC со стороной ВС, параллельной плоскости тс,, приведен на рис. 2.15. Горизонтальная проекция В Ά 'стороны BA перпендикулярна горизонтальной проекции В'C стороны ВС.

Эта особенность проецирования прямого угла упрощает решение ряда задач. Например, пусть требуется начертить перпендикуляр из точки с проекциями А", А' к прямой с проекциями В "С", В'С, параллельной плоскости π2 (рис. 2.16). Для этого из точки А " проводим перпендикуляр /! "М"кВ "С". Построив проекцию M', проводим горизонтальную проекцию A 'M' перпендикуляра.

Это свойство будет широко использовано в дальнейшем.

Заметим, что проекция любого угла в зависимости от положения его плоскости может представлять собой острый, прямой или тупой угол (или прямую линию, если плоскость угла перпендикулярна плоскости проекций). Если угол не прямой, а одна сторона его параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость острый угол проеци-

руется также в виде острого угла меньшей величины, тупой угол – в виде тупого угла большей величины.

Параллельные прямые. Если в пространстве прямые параллельны, го их одноименные проекции параллельны между собой. Действительно (рис. 2.17), проецирующие плоскости а и β, проведенные через параллельные прямые AB и CD, параллельны между собой. C плоскостью проекций π, они пересекаются по параллельным прямым А ' В' и C' D' – проекциям прямых ЛД и CD на плоскости π,.

Чертежи двух параллельных прямых приведены на рис. 2.18:

  • а) прямых общего положения с проекциями А "В", А'В' и CD", C'D'
  • б) горизонтальных прямых с проекциями E"F", E'F' и Q"H", Q Ή';
  • в) фронтальных прямых с проекциями ;
  • г) профильных прямых с проекциями

В то же время о параллельности прямых в пространстве по параллельности их одноименных проекций можно судить только при определенных условиях – на рис. 2.17: , но

Для прямых общего положения эти условия следующие: если одноименные проекции прямых общего положения параллельны в системе двух плоскостей проекций, то прямые параллельны (рис. 2.18, а).

Для прямых частного положения: если одноименные проекции прямых параллельны одной из осей проекций, то прямые параллельны при условии параллельности одноименных проекций на той плоскости проекций, которой параллельны прямые.

По рис. 2.18 заключаем:

  • а) горизонтальные прямые EFh QH параллельны, так как параллельны их горизонтальные проекции E'F' и Q'Н'
  • б) фронтальные прямые 1–2 и 3–4 параллельны, так как параллельны их фронтальные проекции 1"2" и 3"4";
  • в) профильные прямые 5–6 и 7–8 параллельны, так как параллельны их профильные проекции 5'"6"' и 7"'8"'.

Скрещивающиеся прямые. Наглядное изображение двух скрещивающихся прямых АВ и CD общего положения дано на рис. 2.19. Их чертеж – рис. 2.20. С точкой пересечения одноименных проекций А 'В' и С 'D ' (рис. 2.19) совпадают проекции К'н L' двух точек Кн L, принадлежащих различным прямым CD и АВ.

Точки пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых не лежат на одной линии связи (рис. 2.20).

Интересен вопрос, какая из изображенных на чертеже прямых выше другой или ближе другой к наблюдателю. Это определяют путем анализа положения определенных точек этих прямых.

На рис. 2.19 видно, что при взгляде сверху по указанной стрелке точка L на прямой АВ закрывает точку К (проекция точки К на плос-

кости π, показана поэтому в скобках). Соответственно и на чертеже, приведенном на рис. 2.20, видно, что фронтальная проекция L" выше фронтальной проекции А"" и при взгляде сверху по стрелке N при проецировании на плоскость π, точка L закрывает точку К (горизонтальная проекция К' показана в скобках). На плоскости π2 совпадают фронтальные проекции ∕ " и 2" точек прямых AB и CD. При взгляде спереди по стрелке M видно, что точка ∕ прямой AB находится ближе к наблюдателю и при проецировании на плоскость π2 точка 1 прямой А В закрывает точку 2 прямой CD (фронтальная проекция 2" точки 2 показана в скобках).

Рассмотренные точки скрещивающихся прямых, проекции которых на одной из плоскостей совпадают, в литературе иногда называют конкурирующими точками.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎